МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 9 (22 ноября 2014 года)

1-й листок

1.

Можно ли расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 20 в строку так, чтобы в каждой паре соседних одно из чисел делилось на другое?

2.

Несколько шестиклассников встали в круг. Оказалось, что каждый из шестиклассников не выше ростом хотя бы одного из своих соседей. Могут ли все они быть разного роста?

3.

Можно ли расставить на клетчатой плоскости

а)

несколько ладей так, чтобы каждая била хотя бы трёх других?

б)

несколько коней так, чтобы каждый бил хотя бы четырёх других?

в)

несколько коней так, чтобы каждый бил хотя бы пять других?

4.

Существуют ли 4 числа, попарные разности между которыми равны 3, 5, 8, 11, 12 и 20?

5.

Можно ли выложить в ряд все 28 косточек домино согласно правилам игры так, чтобы на одном конце ряда оказалось 5, а на другом 6 очков?

6.

На крыше в ряд сидят 6 котов. Между Пушком и Мурзиком сидит Кузя и ещё один кот. Между Рыжиком и Кузей сидит Барсик и ещё один кот. Между Барсиком и Васькой сидит Пушок и ещё один кот. Как сидят коты, если Васька не крайний?

7.

а)

В таблице 100×100 записаны числа от 1 до 100. Аня выбрала в каждой строке наименьшее, а затем записала наибольшее из выбранных чисел. Боря выбрал в каждой строке наибольшее, а потом записал наименьшее из выбранных чисел. Чьё число в итоге больше?

б)

В таблице 100×100 записаны числа от 1 до 100. Аня выбрала в каждой строке наименьшее, а затем записала наибольшее из выбранных чисел. Боря выбрал в каждом столбце наибольшее, а потом записал наименьшее из выбранных чисел. Чьё число в итоге больше?

2-й листок

8.

Руслан, Жора и Денис сдавали 10 задач. Большинство задач Жора сдал раньше Руслана, Руслан — раньше Дениса, а Денис — раньше Жоры. Как такое могло быть?

9.

а)

На шахматной доске расположены фигуры так, что на каждой горизонтали и вертикали стоит не менее двух фигур. Всегда ли можно снять с доски несколько фигур так, чтобы на каждой горизонтали и вертикали осталось ровно по одной фигуре?

б)

На шахматной доске расположены фигуры так, что на каждой горизонтали и вертикали стоит ровно две фигуры. Всегда ли можно снять с доски несколько фигур так, чтобы на каждой горизонтали и вертикали осталось ровно по одной фигуре?

10.

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что любые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Докажите, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.