МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 7 (8 ноября 2014 года)

1-й листок

1.

По кругу написано 7 натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.

2.

Можно ли расставить по кругу 6 различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних?

3.

Буратино спрятал в каждой руке по монетке: в одной — 10 фертингов, а в другой — 15 фертингов. После этого содержимое левой руки он умножил на 4, 10, 12 или 26, а содержимое правой руки — на 7, 13, 21 или 35. Сейчас Буратино вычислит сумму двух получившихся произведений и назовёт вам результат. Сможете ли вы определить, в какой руке у Буратино 10 фертингов?

4.

За круглым столом сидят мальчики и девочки. Учительница положила между соседями-мальчиками по ручке, между соседями-девочками --- по карандашу, а если рядом сидели мальчик и девочка, то между ними она положила тетрадку.

а)

Докажите, что ей понадобится чётное число тетрадок.

б)

Каким минимальным числом карандашей она могла обойтись, если за столом сидят 10 мальчиков и 27 девочек?

5.

Под ёлкой лежат 2014 шишек. Винни-Пух и ослик Иа-Иа играют в игру: по очереди берут себе шишки. Своим ходом Винни-Пух берёт 1 или 4 шишки, а Иа-Иа — 1 или 3. Первым ходит Пух. Проигравшим считается тот, у кого нет хода. Кто из игроков сможет гарантированно победить, как бы ни играл соперник?

6.

По кругу написаны все целые числа от 1 по 1000 в таком порядке, что при движении по часовой стрелке числа поочередно то возрастают, то убывают. Могут ли при этом все разности соседних чисел быть нечётными?

7.

В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50 штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на 20 г.

8.

Каких наборов больше среди всех чисел от 000 до 999: тех, у которых средняя цифра больше обеих крайних, или тех, у которых средняя цифра меньше обеих крайних?

2-й листок

9.

а)

Поросенок Наф-Наф придумал, как сложить брусок из одинаковых кубиков и оклеить его тремя квадратами без щелей и наложений. Сделайте это и вы.

б)

А может ли Наф-Наф добиться, чтобы при этом каждые два квадрата граничили друг с другом?

10.

Радиолампа имеет семь контактов, расположенных по кругу и включаемых в штепсель, имеющий семь отверстий. Можно ли так занумеровать контакты лампы и отверстия штепселя, чтобы при любом включении лампы хотя бы один контакт попал на свое место (т.е. в отверстие с тем же номером)?

11.

Набор состоит из 30 гирек массой 1 г, 2 г, 3 г, ..., 30 г. Из набора убрали 10 гирек, общая масса которых равна трети общей массы всех гирек. Можно ли оставшиеся гирьки расположить на двух чашках весов по 10 штук на каждой так, чтобы весы остались в равновесии?