МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 15 (21 февраля 2015 года)

1.

В строку записаны 10 чисел, причем сумма любых трёх подряд равна 7, а сумма всех равна 24. Можно ли точно сказать, какое число стоит а) седьмым; б) шестым?

2.

На шахматной доске 9×9 расставлены 9 ладей, не бьющих друг друга. Каждую из этих ладей передвинули ходом коня. Докажите, что теперь какие-то две ладьи бьют друг друга.

3.

Артём, Катя и Аня играют в шахматы. Каждый сыграл по 10 партий.

а)

Сколько всего партий было сыграно.

б)

Могло ли быть так, что Артём сыграл с Катей больше партий, чем с Аней?

4.

У царя Гороха I было три сына. Каждый из его потомков либо умер во младенчестве, либо правил государством и также имел трёх сыновей. Известно, что последним правителем был Горох XVII. Сколько потомков царя Гороха умерло во младенчестве?

5.

Есть 101 монета, среди них одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек определить, легче или тяжелее фальшивая монета?

6.

Минотавр живёт и работает в Лабиринте. В каждой комнате Лабиринта соединяются ровно три коридора. Минотавр начал обходить Лабиринт из главной комнаты, руководствуясь следующим правилом: если в предыдущей комнате поворачивал налево, то в этой --- направо, и наоборот. Докажите, что когда-нибудь Минотавр снова окажется в главной комнате.

7.

Дана прямоугольная полоска размером 12×1. Oклейте этой полоской в два слоя куб с ребром 1 (полоску можно сгибать, но нельзя надрезать).

Дополнительные задачи

8.

Можно ли на рёбрах куба расставить числа от 1 до 12 так, чтобы суммы чисел на всех гранях были одинаковы?

9.

Несколько ящиков вместе весят 10 т, причем каждый из них весит не более 1 т. Какого наименьшего количества трёхтонных грузовиков наверняка хватит, чтобы увезти этот груз?

10.

На квадратной доске 10×10 клеток расставлены шашки, причём во всех вертикалях стоит разное (возможно, нулевое) число шашек, и на всех горизонталях стоит разное (возможно, нулевое) число шашек. Сколько всего шашек может быть на доске?