МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Домашняя олимпиада, часть Б

1.

(Продолжение задачи 4 из части А)

д)

Докажите, что для каждого n существует фигурка, которую можно разбить на доминошки ровно 3ⁿ способами.

е)

Докажите, что для каждого n существует фигурка, которую можно разбить на доминошки ровно n способами.

2.

В коробке было 20 конфет. Незнайка разделил эти конфеты произвольным образом на две кучки, затем выбрал любую из кучек и разделил её на две кучки, и т.д., пока не получилось 20 кучек по 1 конфете в каждой. При каждом делении какой-либо кучки на две Незнайка записывал произведение чисел конфет в двух получающихся кучках. Чему равна сумма этих произведений?

* * *

3.

В клетках бесконечного клетчатого листа записаны числа так, что каждое число равно среднему арифметическому чисел, стоящих в соседних с ним клетках (по стороне), причём каждое из чисел больше нуля и меньше единицы. Обязательно ли все числа равны?

* * *

4.

При каких m число m² можно представить в виде суммы m различных попарно взаимно простых натуральных чисел?

5.

Назовём шестизначное число разложимым, если оно равно произведению некоторых двух трёхзначных чисел. Каких шестизначных чисел больше: разложимых или всех остальных?

* * *

6.

Незнайке сообщили два натуральных числа a и b и попросили разбить квадрат на прямоугольники так, чтобы выполнялось следующее свойство. Любая вертикальная прямая, пересекающая квадрат, либо содержит сторону какого-то из прямоугольников (или стороны нескольких прямоугольников), либо пересекает ровно a прямоугольников; аналогично, каждая горизонтальная прямая либо пересекает ровно b прямоугольников, либо содержит сторону какого-то прямоугольника. Незнайке хочется, чтобы квадрат был разбит на как можно меньшее число прямоугольников. Помогите Незнайке определить это число (оно может зависеть от a и b).