МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2012/2013 учебный год

Версия для печати

Домашняя олимпиада, часть Б

1.
(Продолжение задачи 4 из части А)
д)
Докажите, что для каждого n существует фигурка, которую можно разбить на доминошки ровно 3n способами.
е)
Докажите, что для каждого n существует фигурка, которую можно разбить на доминошки ровно n способами.
2.
В коробке было 20 конфет. Незнайка разделил эти конфеты произвольным образом на две кучки, затем выбрал любую из кучек и разделил её на две кучки, и т.д., пока не получилось 20 кучек по 1 конфете в каждой. При каждом делении какой-либо кучки на две Незнайка записывал произведение чисел конфет в двух получающихся кучках. Чему равна сумма этих произведений?

* * *

3.
В клетках бесконечного клетчатого листа записаны числа так, что каждое число равно среднему арифметическому чисел, стоящих в соседних с ним клетках (по стороне), причём каждое из чисел больше нуля и меньше единицы. Обязательно ли все числа равны?

* * *

4.
При каких m число m² можно представить в виде суммы m различных попарно взаимно простых натуральных чисел?
5.
Назовём шестизначное число разложимым, если оно равно произведению некоторых двух трёхзначных чисел. Каких шестизначных чисел больше: разложимых или всех остальных?

* * *

6.
Незнайке сообщили два натуральных числа a и b и попросили разбить квадрат на прямоугольники так, чтобы выполнялось следующее свойство. Любая вертикальная прямая, пересекающая квадрат, либо содержит сторону какого-то из прямоугольников (или стороны нескольких прямоугольников), либо пересекает ровно a прямоугольников; аналогично, каждая горизонтальная прямая либо пересекает ровно b прямоугольников, либо содержит сторону какого-то прямоугольника. Незнайке хочется, чтобы квадрат был разбит на как можно меньшее число прямоугольников. Помогите Незнайке определить это число (оно может зависеть от a и b).

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS