МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 22 (30 марта 2013 года).

1.

Внутри выпуклого пятиугольника расположены две точки. Всегда ли можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что в него попадут обе выбранные точки?

2.

В клетках квадрата 6×6 записаны некоторые числа. Можно ли однозначно определить сумму этих чисел и, если да, то чему она равна, если известно, что:

а)

сумма чисел в любом квадратике 2 × 2 равна четырём;

б)

сумма чисел в любом прямоугольнике 1× 4 (как в горизонтальном, так и в вертикальном) равна четырём;

в)

сумма чисел в любом прямоугольнике 1 × 4 и в любой четырёхклеточной фигурке в форме буквы „Г” равна четырём.

3.

Пятеро ребят заметили, что любые двое из них вместе поймали не более 9 рыб. Каким, самое большее, может быть общий улов всех пятерых?

4.

В квадрате 5 × 5 закрасили 16 клеток. Обязательно ли найдётся квадрат 2 × 2, в котором закрашено хотя бы три клетки?

5.

Робот „Художник” умеет исполнять следующие четыре типа заданий на плоскости. Проводить окружность с центром в указанной ему точке заданного ему радиуса r, не большего 1 см. Соединять отрезком две указанные ему точки, при условии, что они находятся на расстоянии не более 1 см. Отмечать на плоскости произвольную точку или произвольную точку, лежащую на уже нарисованной линии. Отмечать точку пересечения двух уже проведённых линий. Как с помощью „Художника” нарисовать отрезок длины 10~см?

* * *

6.

В таблице n × n отмечены некоторые 2n клеток. Докажите, что найдется параллелограмм с вершинами в центрах отмеченных клеток.

7.

Какое наибольшее число клеток можно отметить на поверхности кубика Рубика 3 × 3 × 3 так, чтобы отмеченные клетки не имели общих вершин?

8.

Постройте пятиугольник по серединам его сторон.