МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 3 (29 сентября 2012 года)

1.

Назовем натуральное число замечательным, если оно самое маленькое среди всех натуральных чисел с такой же, как у него, суммой цифр. Сколько существует трёхзначных замечательных чисел?

2.

На прямой отмечено 5 точек, а на параллельной ей прямой — 6 точек. Сколько существует четырехугольников с вершинами в этих точках?

3.

Ослик Иа-Иа хочет связать полосатый шарфик из пяти полосок. У него есть шерсть трёх цветов и он хочет, чтобы соседние полоски были разного цвета. Ослик сомневается, какую из расцветок выбрать. Винни-Пух посоветовал Ослику нарисовать всевозможные шарфики и выбрать самый симпатичный. Сколько рисунков придётся нарисовать Ослику, если он последует совету Пуха?

4.

Нарисуйте на плоскости 6 точек так, чтобы они служили вершинами ровно для 17 треугольников.

5.

На кружок записалось 16 ребят. За сентябрь прошло 4 занятия. Известно, что для любых двух ребят было занятие, на котором один из них был, а другой — нет. Докажите, что в каждом занятии участвовало ровно 8 ребят (без записи в занятиях этого кружка участвовать нельзя).

Дополнительные задачи

6.

На прямой отмечено 5 точек, а на параллельной ей прямой — 6 точек. Проведены все отрезки, у которых один конец в отмеченной точке на одной прямой, а другой конец — в отмеченной точке на другой прямой. Сколько будет точек пересечения, если известно, что никакие три из этих отрезков в одной точке не пересекаются?

7.

В одной из школ 20 раз проводился кружок по астрономии. На каждом занятии присутствовало ровно пять школьников, причём никакие два школьника не встречались на кружке более одного раза. Докажите, что всего на кружке побывало не менее 20 школьников.

8.

Тридцать учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно, что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для того, чтобы все побывали в гостях у всех,

а)

четырёх вечеров недостаточно;

б)

пяти вечеров также недостаточно;

в)

а вот десяти вечеров достаточно;

г)

и даже семи вечеров тоже достаточно.