МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 2 (22 сентября 2012 года)

1.

На клетчатой бумаге отмечены четыре узла сетки, образующие квадрат 4×4. Отметьте ещё два узла и соедините их замкнутой ломаной так, чтобы получился шестиугольник (не обязательно выпуклый) площади 6 клеток.

2.

Существует ли пятиугольник, никакие две из пяти диагоналей которого не имеют общих точек (кроме вершин)?

3.

Волшебник Костя провёл через точку K всевозможные прямые, а озорник Серёжа отразил другую точку C относительно каждой прямой, проведённой Костей. Какая фигура оказалась нарисована Серёжей?

4.

Можно ли поставить на плоскости 100 точек (сначала первую, потом вторую и так далее до сотой) так, чтобы никакие три точки не лежали на одной прямой и чтобы в любой момент фигура, состоящая из уже поставленных точек, имела ось симметрии?

5.

Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.

Дополнительные задачи

6.

В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?

7.

На тарелке лежат 9 кусочков сыра разной массы. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?