МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 25 (20 апреля 2013 года).

1.

На математическом конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику давали 3 очка за решение сложной и 2 очка за решение простой задачи. Кроме того, за каждую нерешённую простую задачу списывалось 1 очко. Один из участников решил 10 задач и набрал 14 очков. Сколько было простых задач? Мог ли Незнайка, тоже решивший в этом конкурсе 10 задач, набрать больше 14 очков?

2.

Весь комплект домино выложили в ряд по правилам игры. Известно, что первой стоит пятёрка. Какая цифра стоит последней? Кость домино состоит из двух половинок, в каждой из которых отмечено от 0 до 6 точек. Комплект содержит всевозможные такие кости, по одному экземпляру каждой.

3.

В пруд выпустили 40 щук. Чтобы стать сытой, любой из них необходимо поймать и съесть трёх других щук (неважно, сытых или голодных). Какое максимальное число щук может насытиться? (Съеденная сытая щука считается сытой.)

4.

Сначала на экране калькулятора появилось число 1. Раз в секунду калькулятор находит какое-нибудь целое неотрицательное k такое, что число на экране делится на 2^k, и меняет число на экране, прибавляя к нему любое число от 1 до (k + 1). Незнайка полагает, что любая степень двойки рано или поздно появится на экране. Прав ли Незнайка?

* * *

5.

Мальчик и девочка сидели на скамейке. Потом пришел ещё один ребёнок и сел между ними. И дальше дети приходили по одному, и каждый новый ребёнок садился между какими-то двумя. Назовём девочку отважной, если она садилась между двух мальчиков, а мальчика — если он садился между двух девочек. В итоге на скамейке оказалось 20 ребят, причем оказалось, что мальчики и девочки чередуются. Сколько среди этих детей — отважных?

6.

Незнайка придумал теорему: „Для любой точки внутри выпуклого четырёхугольника сумма расстояний от неё до вершин четырёхугольника меньше его периметра”. Верна ли эта теорема?

7.

Бумажный квадрат разбит линиями, проведенными карандашом, на n прямоугольников. Докажите, что можно сделать не более n − 1 прямолинейного разреза, после которых бумажный квадрат распадется в точности на нарисованные прямоугольники. Части нельзя накладывать друг на друга, а разрез не обязан начинаться или кончаться на краю.

8.

Какое минимальное количество клеток можно закрасить чёрным в белом квадрате 300×300, чтобы никакие три чёрные клетки не образовывали уголок, а после закрашивания любой белой клетки это условие нарушалось?