МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2012/2013 учебный год

Занятие 8 (3 ноября 2012 года). Математическая карусель

1
На какое наибольшее число частей можно разрезать круг пятью прямолинейными разрезами?

Ответ

Ответ. 16 частей.
2
Какой цифрой оканчивается произведение всех простых чисел от 1 до 100? (Простым называется натуральное число, делящееся ровно на два числа: на себя и на единицу.)

Ответ

3
По какой цене за килограмм нужно продавать смесь конфет «Солнышко» и «Луна», если цена «Солнышка» 50 рублей за кг, цена «Луны» — 70, и в смеси «Луны» втрое больше, чем «Солнышка»?

Ответ

Ответ. 65 руб/кг.
4
Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 1000 можно выбрать так, чтобы сумма любых четырёх из них делилась на три нацело?

Ответ

Ответ. 333 числа.
5
Найдите восемь последовательных целых чисел, сумма первых трёх из которых равна сумме остальных пяти.

Ответ

Ответ. −11, −10, −9, −8, −7, −6, −5, −4.
6
На какое наименьшее число частей можно разрезать круг пятью (различными) прямолинейными разрезами?

Ответ

Ответ. 6 частей.
7
Первая цифра трёхзначного числа равна 4. Если перенести её в конец, получится число, составляющее 3/4 от исходного. Чему может быть равно исходное число?

Ответ

8
Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 1000 можно выбрать так, чтобы сумма любых трёх из них делилась на три нацело?

Ответ

Ответ. 334 числа.
9
Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в двадцать минут первого?

Ответ

Ответ. 110 градусов.
10
Сколько различных ответов можно получить, расставляя скобки в выражении 1 + 2 × 3 + 4?

Ответ

Ответ. 4 ответа.
11
Сколько четырёхзначных чисел содержат ровно две различные цифры?

Ответ

Ответ. 567 чисел.
12
Среди натуральных чисел от 1 до n ровно половина имеет в записи цифру 1. Найти все такие n от 1 до 100.

Ответ

Ответ. 2, 16, 24.
13
Ровно в полдень 15-метровый столб отбрасывает 10-метровую тень. Какова высота дерева, отбрасывающего в тот же момент 15-метровую тень?

Ответ

Ответ. 22,5 метра.
14
Каких пятизначных чисел больше: не делящихся на 5 или тех, у которых ни первая, ни вторая цифра слева — не пятёрка?

Ответ

Ответ. Их поровну.
15
На какое наибольшее число частей можно разрезать круг семью прямолинейными разрезами?

Ответ

16
В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 99 орехов меньше, чем в двух других вместе, во втором — на 19 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

Ответ

Ответ. 59 орехов.
17
Сколько существует различных квадратов со сторонами, идущими по линиям сетки квадрата 7×7?

Ответ

18
На какое наибольшее число частей можно разрезать круг 20 прямолинейными разрезами?

Ответ

Ответ. 211 частей.
19
В классе 16 учеников. Каждый месяц учитель делит класс на две группы. Какое наименьшее число месяцев должно пройти, чтобы любые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах? [Точнее: за какое наименьшее число месяцев учитель может добиться того, чтобы любые два ученика в какой-то из месяцев оказались в разных группах?]

Ответ

Ответ. 4 месяца.
20
Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на сумму своих цифр даёт в остатке 22.

Ответ

21
Дан выпуклый десятиугольник, в котором проведены все диагонали, причём никакие три диагонали не пересекаются в одной точке. Сколько будет точек пересечения диагоналей (не считая вершины десятиугольника)?

Ответ