МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 4 (6 октября 2012 года)

1.

Чего больше: пятниц, кроме тех пятниц, которые не являются тринадцатыми числами, или тринадцатых чисел, кроме тех, которые не являются пятницами?

2.

На прямой отмечены отрезок AB и 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не может быть равна сумме расстояний до точки B.

3.

Листок календаря частично закрыт предыдущим оторванным листком. Известно, что вершины A и B верхнего листка лежат на сторонах нижнего листка, а четвёртая вершина нижнего листка не видна — она закрыта верхним листком. Верхний и нижний листки равны между собой. Какая часть нижнего листка по площади больше — закрытая или открытая?

4.

Трое ребят решили вместе 100 задач по математике. Каждый из них решил 60 задач. Назовём задачу трудной, если её решил только один человек, и лёгкой, если её решили все трое. Насколько отличается количество трудных задач от количества лёгких?

5.

Какая из капелек имеет большую площадь? (Все окружности на рисунке равны, а треугольник правильный.)

6.

Незнайка утверждает, что если через центры некоторых клеток шахматной доски провести замкнутую несамопересекающуюся ломаную так, что каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток, то в ограниченном ею многоугольнике общая площадь чёрных частей равна общей площади белых частей. Выясните, прав ли Незнайка.

Дополнительная задача

7.

Выпуклые четырёхугольники ABCD и PQRS вырезаны из бумаги и картона соответственно. Будем говорить, что они подходят друг к другу, если выполняются два условия:
1) картонный четырёхугольник можно наложить на бумажный так, что его вершины попадут на стороны бумажного, по одной вершине на каждую сторону;
2) если после этого перегнуть четыре образовавшихся маленьких бумажных треугольника на картонный, то они закроют весь картонный четырёхугольник в один слой.

а)

Докажите, что, если четырёхугольники подходят друг к другу, то у бумажного либо две противоположные стороны параллельны, либо диагонали перпендикулярны.

б)

Докажите, что если бумажный четырёхугольник ABCD — параллелограмм, то можно сделать подходящий к нему картонный четырёхугольник.