МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2012/2013 учебный год

Версия для печати

Занятие 10 (17 ноября 2012 года)

1.
а) При каком положении точки C на границе прямоугольника площадь треугольника ABC будет наибольшей? б) Дана окружность, проходящая через точки A и B. При каком положении точки C на этой окружности площадь треугольника ABC будет наибольшей?
2.
Прямоугольник ABCD площади 1 сложили по прямой так, что точка C совпала с A. Докажите, что площадь получившегося пятиугольника меньше 3/4.
3.
Стороны квадрата длины 3 разбиты на отрезки длины 1 и точки разбиения соединены отрезками, как показано на рисунке. Найдите площадь закрашенной фигурки.
4.
Все целые числа произвольным образом разбиты на две группы. Доказать, что хотя бы в одной из групп найдутся три числа, одно из которых есть среднее арифметическое двух других.
5.
Число a + 1/a — целое. Докажите, что число a² + 1/a² также целое.

Дополнительные задачи

6.
В обращении есть монеты достоинством в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и 1 рубль. Известно, что k монетами можно набрать m копеек. Докажите, что m монетами можно набрать k рублей.
7.
Костя пытался нарисовать на клетчатой бумаге квадрат площади x с вершинами в узлах клеток, а Серёже захотелось нарисовать квадрат площади 1/x. Косте удалось нарисовать свой квадрат. Докажите, что и Серёжа сможет исполнить своё желание. (Вершины Серёжиного квадрата не обязаны лежать в узлах клеток. Имеется только один инструмент — линейка, разрешается отмечать точку пересечения двух прямых, отмечать узел cетки и проводить прямую через любые две отмеченные точки.)

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS