МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 5 (13 октября 2012 года)

1.

Незнайка готовится к приходу гостей. У него есть колбаса 8 видов и овощи 8 сортов. Бутербродом Незнайка считает три куска колбасы разных видов, положенные друг на друга (при этом важно, какая колбаса лежит снизу, какая сверху, и какая — в середине!), а салатом — смесь трёх видов овощей в равных пропорциях.

а)

Сколько различных бутербродов может приготовить Незнайка?

б)

А сколько различных салатов?

в)

Незнайка заметил, что салатов должно получиться меньше, чем бутербродов, и стал вместо трёхкомпонентных салатов готовить салаты из 5 компонентов. Сколько у него получится видов салатов?

г)

Незнайка увидел, что салатов всё равно получилось меньше, чем бутербродов, и стал готовить салаты из любого числа компонентов. Сможет ли он приготовить столько различных салатов, сколько он уже приготовил бутербродов? Посоветуйте Незнайке, каким образом записывать состав уже сделанных салатов в таблицу так, чтобы не пропустить ни один из возможных вариантов.

2.

Ослик Иа-Иа уже связал первую полоску шарфика (красную). Он решил, что ещё в шарфике будет 3 синих и 5 оранжевых полосок (а красных больше не будет), но сомневается, в каком порядке все девять полосок вместе будут выглядеть лучше. Из скольких вариантов нужно выбирать Ослику?

3.

Ладья стоит на левом поле клетчатой полоски 1×10 и за ход может сдвинуться на любое количество клеток вправо. В клетках, где Ладья останавливается, она пьёт кофе, и отмечает свой маршрут на карте, рисуя стрелочку в тех клетках, которые она проходит, и кружок в тех клетках, где останавливается.

а)

Сколькими способами Ладья может добраться до крайнего правого поля?

б)

Сколькими способами она может добраться до крайнего правого поля ровно за 4 хода (т.е. с тремя «остановками»)?

4.

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 6×4, в его левом нижнем углу сидит Кузнечик. Кузнечик может прыгать на одну клетку вверх или вправо.

а)

Сколько различных путешествий из n ходов может совершить Кузнечик (он может уйти и за пределы прямоугольника)?

б)

За сколько ходов он может допрыгать до противоположного угла прямоугольника? Сколькими способами он может это сделать?

5.

Сколькими способами Незнайка, Ослик, Ладья и Кузнечик могут поделить между собой 9 золотых монет так, чтобы каждому досталась хотя бы одна монета?

Дополнительные задачи

6.

Сколькими способами можно представить число n в виде суммы четырёх целых неотрицательных слагаемых (порядок слагаемых важен).

7.

Окна дома, обращённые к морю, расположены в узлах прямоугольной сетки с m горизонталями (этажами) и n вертикалями. Сколько сигналов можно передать находящемуся в море кораблю, освещая некоторые из окон дома, если в темноте нельзя различить положение освещенных окон относительно дома?

8.

Незнайка решал задачу, в которой требовалось найти количество способов что-то сделать, и получил ответ в виде: 1 · n + 2 ·(n − 1) + … + (n − 1) ·2 + n · 1. Чему равна эта сумма?