МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 17 (16 февраля 2013 года)

1.

16 блокнотов стоят столько же рублей, сколько блокнотов можно купить на 10000 рублей. Сколько стоит один блокнот?

2.

Тринадцатиугольный торт разрезали по нескольким непересекающимся диагоналям так, что все куски получились треугольными. Сколько кусков могло получиться?

3.

Любое ли натуральное число может быть представлено как частное от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа?

4.

Незнайка придумал теорему: „Любое шестизначное число вида ababab делится на 7”. Верна ли эта теорема?

5.

AH — высота равнобедренного треугольника ABC (AB=BC), а AK — биссектриса угла BAH. Чему может быть равен угол KAC?

6.

Дед Мороз дарит шоколадки любого размера с единственным условием: сумма периметров всех шоколадок, составляющих подарок, должна быть не больше 80 см. Толщина всех шоколадок одинакова. Шоколадки какого размера стоит попросить, чтобы получить как можно больше шоколада, если Дед Мороз готов подарить

а)

только одну шоколадку;

б)

сколько угодно шоколадок.

* * *

7.

Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяти положительных чисел, в десятичной записи которых участвуют только цифры 0 и 7.

8.

Али-Баба пришел в пещеру, где есть золото, алмазы и сундук, в котором их можно унести. Полный сундук золота весит 200 кг, полный сундук алмазов — 40 кг, пустой сундук ничего не весит. Килограмм золота стоит на базаре 20 динаров, килограмм алмазов — 60 динаров. Али-Баба может поднять и унести не более 100 кг. Какую наибольшую сумму (денег) он может получить за сокровища, которые он принесет из пещеры за один раз?

9.

Докажите, что в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать больше n диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку.