МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 14 (15 декабря 2012 года)

1.

Незнайка собирается приобрести дачный участок и хотел бы знать его площадь. Продавец сообщил Незнайке, что участок имеет форму прямоугольного треугольника ABC с высотой CH=60 м, опущенной на гипотенузу AB=100 м. Незнайка знает формулу, позволяющую по этим данным вычислить площадь участка, но не доверяет ей, так как вычисленный по этой формуле ответ кажется ему странным, а доказывать эту формулу он не умеет. Помогите Незнайке разобраться в сложившейся ситуации (в частности, понять, как может выглядеть описанный продавцом треугольник).

2.

По кругу сидят 15 мальчиков и 15 девочек. Верно ли, что число пар рядом сидящих мальчиков обязательно равно числу пар рядом сидящих девочек?

3.

По основанию равнобедренного треугольника движется точка. Докажите, что сумма расстояний от неё до боковых сторон не меняется.

4.

В детском саду тарелки украшены по периметру семью розочками, которые равноотстоят друг от друга и различаются только цветом; каждая розочка покрашена либо в красный, либо в белый, либо в розовый цвет. Сколько может быть тарелок, раскрашенных по-разному?

5.

Дан отрезок AB и прямая, пересекающая его. Найдите на прямой такую точку C, чтобы угол ACB делился этой прямой пополам.

Дополнительная задача

6.

а)

К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.

б)

Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?