МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2012/2013 учебный год

Занятие 16 (9 февраля 2013 года). Анализ с конца

1.
Из числа вычли сумму его цифр. Из полученного числа вновь вычли сумму его (полученного числа) цифр, и так делали снова и снова. После пяти таких вычитаний впервые получился ноль.
а)
Какое число было перед тем, как получился ноль?
б)
С какого числа начали?
2.
На доске нарисовали треугольник ABC с длинами сторон AB = 4 см, BC = 5 см, CA = 6 см так, что вершины A,B,C шли по часовой стрелке. Из вершины C провели высоту CH, а через вершину B — прямую \(\ell\), делящую угол B треугольника пополам. Далее отметили точку X пересечения отрезка CH и прямой \(\ell\), после чего стёрли всё, кроме этой точки X и полупрямой из неё в направлении точки B (сама точка B тоже была стёрта). Как восстановить треугольник ABC?
3.
Внутри квадрата ABCD находится точка O, причём \(\angle OAB = \angle OBA = 15^\circ\!\). Верно ли, что треугольник OCD — равносторонний?
4.
В марсианском метро 100 станций. От любой станции до любой другой можно проехать. Забастовочный комитет хочет закрыть проезд через n станций, 0 ≤ n ≤ 100. Забастовка считается гуманной, если между всеми незакрытыми станциями остался проезд. Докажите, что при любом n возможна гуманная забастовка.
5.
Проведите через данную точку прямую так, чтобы на данной окружности высечь хорду данной длины.

Дополнительные задачи

6.
Улитка ползает по полоске 1×13. Сначала она из некоторой клетки переползает в соседнюю. Затем она поворачивается либо на 180, либо на 360 градусов и ползёт в новом направлении до тех пор, пока не окажется в клетке, где ещё не была. Там она снова поворачивается, и так далее. Прогулка считается законченной, когда улитка побывает во всех клетках.
а)
Сколько существует прогулок, начинающихся из центральной клетки?
б)
Сколько всего есть вариантов прогулок?
7.
За столом сидят 7 гномов, перед каждым — кружка, в некоторые налит эль (но, быть может, не поровну). Первый разлил весь свой эль поровну в кружки всем остальным. Затем второй разлил свой эль поровну всем остальным (включая первого), затем третий гном и т.д. до седьмого. Когда и седьмой гном разлил свой эль, у всех оказалось столько же эля, сколько было вначале. Сколько эля в каждой кружке, если всего его 3 литра?