МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 12 (1 декабря 2012 года)

1.

Верно ли, что предпоследняя цифра любой степени тройки (т.е. числа вида 3ⁿ) чётна?

2.

Ханойские башни. Есть три стержня и несколько колец разного размера. Класть можно только кольцо меньшего размера на кольцо большего размера. Как переместить пирамидку с одного стрежня на другой, если в пирамидке:

а)

3 кольца;

б)

5 колец?

в)

Незнайка научился перемещать с одного стержня на другой пирамидку из 99 колец, и легко сделает это по вашей просьбе. Переместите вместе с Незнайкой с одного стержня на другой пирамидку из 100 колец.

3.

В пробирке живут амёбы. Каждую минуту происходит следующее: каждая амёба делится пополам, после чего в пробирку добавляют еще одну такую же амёбу. В начальный момент времени там была всего одна амёба. Сколько амёб будет в пробирке через n минут?

4.

Полоска 1×10 разбита на единичные квадраты. В квадраты записывают числа 1, 2,…,10. Сначала в один какой-нибудь квадрат записывают число 1, затем число 2 записывают в один из соседних квадратов, затем число 3 — в один из соседних с уже занятыми и т.д. (произвольными являются выбор первого квадрата и выбор соседа на каждом шагу). Сколькими способами это можно проделать?

5.

а)

Придумайте три различных натуральных числа, сумма которых делится на каждое из них.

б)

Для каких натуральных n существуют n различных натуральных чисел, сумма которых делится на каждое из них?