МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 24 (13 апреля 2013 года).

1.

Торт имеет форму правильного треугольника. Пятачок хочет разрезать его на три попарно неравные треугольные части одинаковой площади. Помогите Пятачку.

2.

Сейчас на доске написано число 3. Каждую секунду написанное на доске число стирают, удваивают, вычитают единицу и результат записывают на доске вместо предыдущего числа. Какое число будет написано на доске через минуту?

3.

В клетчатом квадрате закрашено несколько клеток. Верно ли, что квадрат можно разрезать на прямоугольники так, чтобы в каждом прямоугольнике была ровно одна закрашенная клетка?

4.

Через вершины A и B треугольника ABC проведены две прямые, которые разбивают его на четыре фигуры (три треугольника и один четырёхугольник). Известно, что три из этих фигур имеют одинаковую площадь. Докажите, что одна из этих трёх фигур — четырёхугольник.

5.

а)

Докажите, что в любом треугольнике найдутся две стороны a и b такие, что 1 ≤ a⁄b ≤ 2.

б)

Верно ли то же самое для произвольного многоугольника?

* * *

6.

Чему равно значение выражения ¹/_2! + ²/_3! + … + ²⁰⁰⁰/_2001!? Через n! („эн факториал”) обозначено произведение 1· 2·…· n.

7.

Незнайка придумал теорему: „Для любой точки внутри выпуклого четырёхугольника сумма расстояний от неё до вершин четырёхугольника меньше его периметра”. Верна ли эта теорема?

8.

Найдите хотя бы одну тройку натуральных чисел x, y, z такую, что x³ + y⁴=z⁵.

9.

Из чисел от 1 до 2n выбрано n + 1 число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое.