МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 20 (16 марта 2013 года).

1.

Яблоко называется большим сладким, если при сравнении с каждым из остальных яблок на яблоне оно или больше, или слаще (или и то, и другое). Аналогично определяется маленькое кислое яблоко. Так случилось, что на яблоне все яблоки — большие сладкие. Докажите, что все яблоки на этой яблоне маленькие кислые.

2.

В произвольную точку R внутри прямоугольного торта ABCD кондитер помещает розочку, после чего части RAB и RCD поливает шоколадной глазурью, а две оставшиеся треугоульные части посыпает сахарной пудрой.

а)

Прав ли Незнайка, заявивший, что ровно половина любого такого торта покрыта шоколадной глазурью?

б)

Заказчики попросили, чтобы четыре треугольные части торта по площади относились друг к другу как 1:2:3:4. Торт почти готов. Помогите кондитеру выбрать место для розочки.

3.

В парке росли липы и клёны. Клёнов среди них было 60 %. Весной в парке посадили липы, после чего клёнов стало 20 %. А осенью посадили клёны, и клёнов стало снова 60 %. Во сколько раз увеличилось количество деревьев в парке за год?

4.

Пятачок по своему усмотрению отмечает точку X внутри подаренного Кроликом треугольного торта ABC и режет торт на три треугольных куска ABX, BCX, CAX. Затем Винни-Пух и Ослик по очереди выбирают себе по куску, а оставшийся кусочек достаётся Пятачку. Какую максимальную часть торта может обеспечить себе Пятачок?

5.

В трёх кувшинах было кофе с молоком, причём концентрация молока везде разная. В первую чашку нужно налить сколько-то кофе из каждого из кувшинов № 2 и № 3, во вторую чашку — из кувшинов № 3 и № 1, а в третью чашку — из кувшинов № 1 и № 2. Можно ли сделать это так, чтобы концентрация молока во всех чашках получилась одинаковой?

* * *

6.

Верно ли, что сумма расстояний от точки до прямых, содержащих стороны данного правильного многоугольника, не зависит от выбора точки внутри многоугольника?

7.

Даны 11 гирь разного веса (разных нет), каждая весит целое число граммов. Известно, что как ни разложить гири (все или часть) на две чаши, чтобы гирь на них было не поровну, всегда перевесит чаша, на которой гирь больше. Докажите, что хотя бы одна из гирь весит не менее 35 граммов.