МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Руководитель Степан Львович Кузнецов
2012/2013 учебный год

Версия для печати

Занятие 11 (24 ноября 2012 года)

1.
Незнайка должен был разрезать квадрат на 1000 квадратов. Но после тщательного подсчёта оказалось, что он разрезал не на 1000, а на 997 квадратов. Помогите Незнайке исправить ситуацию и получить ровно 1000 квадратов.
2.
Вначале на доске было написано некоторое число, через секунду вместо него появилось второе, и затем каждую секунду на доске появлялось новое число. Со временем Незнайка заметил закономерность: для всех n, начиная с n = 3000, n-ое число, появлявшееся на доске, было ровно на (2n − 1) больше предыдущего. Незнайка увидел, что 3798-ое число равно (3798)². Чему будет равно а) 3799-ое, б) 3801-ое число, если замеченная Незнайкой закономерность сохранится?

Индукция

Пусть требуется доказать утверждение типа: „Для каждого натурального n верно, что...”. Это всё равно, что доказать бесконечную цепочку утверждений „Для n = 1 верно, что...”, „Для n = 2 верно, что...”, ......, „Для n = 3799 верно, что...” и так далее.

Метод математической индукции состоит в том, чтобы доказать первое из этих утверждений (называемое базой индукции), а затем доказать шаг (или переход): „Если верно утверждение № n, то верно утверждение № (n + 1)”. Если верны база индукции и шаг индукции, то все утверждения верны.


3.
Докажите, что для каждого n верно утверждение: сумма натуральных чисел от 1 до n равна \(\frac{n(n+1)}{2}\).
4.
Неравенство треугольника гласит, что для любых трёх точек A1,A2,A3 выполнено: A1A2 + A2A3A1A3. Докажите, что для любого n длина n-звенной ломаной не меньше длины отрезка между её концами.
5.
У бородатого многоугольника во внешнюю сторону растет щетина. Его пересекает n прямых, на каждой из которых с одной из сторон тоже растет щетина. В результате многоугольник оказался разбитым на некоторое число частей. Докажите, что хотя бы одна из частей окажется бородатой снаружи.
6.
Незнайке сообщили некоторое число a. Он вычислил n чисел: \[a + \frac{1}{a}, a^2 + \frac{1}{a^2}, a^3 + \frac{1}{a^3}, \ldots,a^{n-1}+\frac{1}{a^{n-1}}, a^n + \frac{1}{a^n}\mbox{,}\] и все они оказались целыми. Незнайка очень устал. Помогите ему доказать, что \(a^{n+1}+\frac{1}{a^{n+1}}\) тоже целое.
7.
Отвлекитесь от индукции — сравните площадь трёх фигурок.

Дополнительные задачи

8.
Докажите, что 4n + 15n − 1 при любом натуральном n делится на 9.
9.
На доске написаны сто цифр: нули и единицы (в произвольной комбинации). Разрешается выполнять две операции: (1) заменять первую цифру (нуль на единицу и наоборот); (2) заменять цифру, стоящую после первой единицы. Например, в последовательности 0011001... можно заменить первую цифру или четвёртую. Докажите, что с помощью нескольких таких замен можно получить любую комбинацию из ста нулей и единиц.
10.
Докажите по индукции, что произведение любых n последовательных натуральных чисел делится на n! (через n! — „n факториал” — обозначается произведение чисел от 1 до n).
11.
Чему равна сумма \(1 \cdot n + 2\cdot (n-1) + \ldots + (n-1)\cdot 2 + n\cdot 1\)?
12.
В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 2009. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число k, то первые k чисел строки переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций 1 окажется на первом месте.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS