МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 8 класса

Занятие 18 (2 марта 2013 года).

1.

В классе 6 человек едят мороженое каждый день, 8 человек едят его через день, а остальные не едят мороженого вообще. Вчера 12 учеников этого класса ели мороженое. Сколько учеников будут есть мороженое сегодня?

2.

На плоскости проведено несколько (не менее трёх) прямых так, что никакие три не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Обязательно ли среди частей, на которые прямые делят плоскость, найдётся треугольная?

3.

Из клетчатого квадрата вырезали клетчатый квадрат. Осталось 60 клеток. Каким мог быть размер большего квадрата?

4.

Турист, приехавший в Москву поездом, весь день ходил по городу пешком. Очутившись на одной из площадей, он решил вернуться на вокзал, идя лишь теми улицами, по которым он проходил нечётное число раз. Всегда ли он сможет это сделать?

5.

В клетках таблицы 10× 10 записаны числа от 0 до 99 так, как показано на рисунке. Перед каждым числом поставили знак „ + ” или „ − ” так, что в каждой строке и в каждом столбце оказалось поровну плюсов и минусов. Докажите, что сумма всех чисел равна нулю.

6.

Незнайка провёл измерения и выяснил, что у его четырёхугольного дачного участка ABCD стороны AB и CD равны, а также равны углы A и C. Незнайка отсюда сделал вывод, что его участок — параллелограмм. Обязательно ли это так?

Дополнительные задачи

7.

Может ли число вида a0… 09 быть квадратом натурального числа? Через a обозначена цифра, и после неё идёт несколько нулей (не менее одного), в конце — одна девятка.

8.

На шахматной доске стоят 8 ладей так, что они не бьют друг друга. Докажите, что число ладей, стоящих на чёрных полях, чётно.