МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Математическая регата (29.10.2005)

Блок 1 (10 мин) (каждая задача — 6 баллов)

1-1.

Из книги выпал кусок, страницы которого имеют номера от 480 до 612. Сколько страниц в выпавшем куске?

Ответ Решение

Ответ. 132

Решение. Страниц с номерами от 480 до 612 — 133. Поскольку в выпавшем куске несколько листов, то есть, количество страниц — чётно, значит, до 612 считали, не включая само число 612. Принимался также ответ 134, если решение опиралось на то, что правая страница имеет всегда нечётный номер.

1-2.

Разрежьте прямоугольник прямолинейным разрезом на две части, из которых можно сложить треугольник.

Решение

Решение.

1-3.

В ящике лежит 10 пар белых перчаток и 20 пар чёрных. Сколько перчаток нужно вынуть не глядя, чтобы среди них наверняка оказались левая и правая перчатки одного цвета? (Ответ объясните.)

Ответ Решение

Ответ. 31 перчатку.

Решение. Если мы вынем меньше перчаток, то может случайно оказаться, что мы вытянули 20 левых чёрных перчаток и 10 правых белых. Если же мы вытянем 31, то либо среди них есть белая пара, либо белых не больше 10. Если белых не больше 10, то чёрных не меньше 21, а значит, среди чёрных найдётся пара.

Блок 2 (15 мин) (каждая задача — 7 баллов)

2-1.

Каждое из четырёх слагаемых на 4 меньше их суммы. Чему равны слагаемые? Ответ объясните.

Ответ Решение

Ответ. 1 1/3

Решение. Понятно, что слагаемые одинаковы. То есть одно число на 4 меньше суммы четырёх таких же чисел, или сумма трёх таких чисел равна четырём. Значит, каждое число равно 4/3=1 1/3.

2-2.

Разрежьте прямоугольник 3×9 на 8 квадратов.

Решение

Решение.

2-3.

Из спичек выложено равенство XIV − XVI = II. Переместите одну спичку так, чтобы равенство стало верным.

Решение

Решение. Переложите одну спичку из знака равенства к минусу, получится равенство 14=16 − 2.

Блок 3 (20 мин) (каждая задача — 8 баллов)

3-1.

Решите ребус: ТИК + ТАК=АКТ (Каждую букву надо заменить цифрами, при этом одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры.) Найдите как можно больше решений.

Ответ Решение

Ответ. 432 + 492=924, 216 + 246=612, 261 + 251=512.

Решение.
Понятно, что Т — чётная цифра. Значит, Т может быть двойкой или четвёркой. Шестёркой Т уже быть не может, так как не получится трёхзначное число.
Если Т — двойка, то К может быть либо единицей, либо шестёркой.
Пусть К — единица. Тогда 2И1 + 2А1=А12. Значит, А равно либо четырём, либо пяти. Легко проверить, что А4 не может быть равно четырём, тогда А=5, И=6, и получается решение 261+251=512$.
Пусть К — шестёрка. Тогда 2И6 + 2А6=А62. Если А — четвёрка, то И — единица. Если А — пятёрка, то И — десятка, что невозможно. Значит, имеем решение 216 + 246=612.
Пусть Т — четвёрка. Тогда К либо двойка, либо семёрка.
Если К — двойка, то 4И2 + 4А2=А24. Легко проверить, что А не может быть равно восьми. Если А равно девяти, то И равно трём. То есть 432 + 492=924.
Пусть К — семёрка. Тогда 4И7 + 4А7=А74. А не может быть равно восьми. Если А=9, то И=7. Но это невозможно, так как К=7.
Итак, получается три решения: 432 + 492=924, 216 + 246=612, 261 + 251=512.

3-2.

Расставьте в квадрате 4×4 одного короля, двух ладей и трёх слонов так, чтобы ни одна из этих фигур не била ни одну другую.

Решение

Решение.

3-3.

На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут) в некоторой компании каждый заявил остальным: «Среди вас — два рыцаря». Сколько рыцарей могло быть в этой компании?

Ответ Решение

Ответ. 0 или 3

Решение. Понятно, что если все лжецы, то такая ситуация возможна. Если же есть хотя бы один рыцарь, то, поскольку он говорит правду, среди остальных должно быть ровно два рыцаря, то есть всего три рыцаря. Такая ситуация тоже возможна.

Блок 4 (25 мин) (каждая задача — 9 баллов)

4-1.

Найдите наибольшее натуральное число, любые две последовательные цифры которого образуют точный квадрат. Покажите, что это число наибольшее.

Ответ Решение

Ответ. 81649

Решение.
Пусть первая цифра — единица. Тогда следующая может быть только шестёркой, следующая — только четвёркой, следующая — только девяткой, а на девятку точные двузначные квадраты не начинаются. Получили число 1649.
Аналогично, начав с двойки, получим число 25. И так далее, 3649, 49, 649, 81649. Из этих шести чисел наибольшее — 81649.

4-2.

Разделите квадрат 4×4 на две равные части так, чтобы линия разрезов шла по сторонам клеток. Найдите как можно больше способов. (Фигуры, получившиеся при разных способах разрезания, должны быть разными.)

Решение

Решение.

4-3.

Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей скоростью. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться фонариком тоже нельзя.)

Решение

Решение. Переходят папа с мамой (2), один из них (пусть папа) возвращается (1), переходят малыш с бабушкой (10), второй из родителей (мама) возвращается (2), и папа с мамой переходят (2). 2 + 1 + 10 + 2 + 2=17.

Результаты регаты