МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 1. Пути и движения (08.10.2005)

1.

В Труляляндии живут ляпусики и мордасики. Все мордасики ездят на хрумзиках. Верно ли, что ляпусики не ездят на хрумзиках? Верно ли, что те, кто не ездят на хрумзиках — ляпусики?

Решение

Решение.
а) Нет, неверно, т.к. про ляпусиков никакой информации не было сказано, они могут как ездить на хрумзиках, так и не ездить.
б) Верно, т.к. если бы это были мордасики, они бы по условию ездили на хрумзиках.

2.

Крестьянину нужно переправить через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним — или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой без крестьянина, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как быть?

Решение

Решение. Крестьянин может сначала перевезти козу, потом вернуться за капустой, перевезя капусту, забрать козу обратно, затем перевезти волка, и снова козу.

3.

Два человека бегут по ступенькам эскалатора метро. Один бежит быстрее другого. Кто насчитает больше ступенек?

Ответ Решение

Ответ. Более быстрый.

Решение. Рассмотрим последнюю ступеньку, на которую наступит быстрый. Так как в этот момент времени медленный находится дальше от конца эскалатора на несколько ступенек, он не успеет добежать до этой ступеньки до того, как она «спрячется». Таким образом, медленный не успеет увидеть все ступеньки, которые увидит быстрый.

4.

a) В город Зелёный ходят 4 автобуса и 5 электричек. Костя никогда не ездит тем же видом транспорта, что и Миша. Сколькими способами они могут купить себе билеты?
б) С октября до города Зелёный стали ходить ещё и три маршрутки. Сколькими способами теперь Костя и Миша могут купить себе билеты?

Ответ Решение

Ответ. а) 40 способами. б) 94 способами.

Решение.
a) Если Костя поедет автобусом, у него есть четыре способа купить себе билет, а у Миши для каждого Костиного способа есть пять способов купить себе билет. Тем самым, получается 20 способов покупки билетов. Если Костя поедет на электричке, аналогичным образом получаем ещё 20 способов.
б) Если Костя поедет автобусом, у него есть четыре способа купить себе билет, а у Миши для каждого Костиного способа есть 5 + 3=8 способов купить себе билет. Тем самым, получается 4·8=32 способа покупки билетов. Если Костя поедет на электричке, у него есть пять способов купить себе билет, а у Миши для каждого Костиного способа есть 4 + 3=7 способов купить себе билет. Тем самым, получается 5·7=35 способов покупки билетов. Если Костя поедет на маршрутке, аналогичным образом получаем ещё 3·(4 + 5)=27 способов.

5.

Автобус шёл из деревни Мухоморы в село Светлое. Обычно автобус ездит всегда с одной и той же скоростью, но случилось так, что первую половину пути он шёл со скоростью, вдвое меньшей запланированной. Удастся ли ему наверстать упущенное время? Если да, то во сколько раз ему нужно увеличить скорость?

Ответ Решение

Ответ. Автобусу не удастся наверстать упущенное время.

Решение. Если уменьшить скорость вдвое, то за то же самое время как раз будет пройдена половина пути. (^v/₂· t=^s/₂.) Тем самым, автобус проехал половину пути как раз к тому моменту, когда по расписанию он уже должен был быть в селе.

6.

В Мухоморах живёт 100 школьников, а в Светлом — 200. Где нужно построить школу, чтобы общий путь, который ежедневно проходят все 300 школьников, был наименьшим?

Ответ Решение

Ответ. Школу нужно построить в Светлом.

Решение. Предположим, что школа построена где-то в другом месте. Сравним общий путь, который проходят все 300 школьников до школы, с общим путём, который прошли бы сто школьников, если бы они пошли сначала в школу, а потом в село Светлое. Очевидно, что во втором случае путь меньше. Поэтому школу выгоднее строить в селе.

7.

Высота столба равна 20 м. Улитка решила навестить свою бабушку, которая живёт на вершине столба. За день она проползает по столбу 3 метра,а за ночь сползает на 2 метра. Через сколько дней произойдёт радостная встреча?

Ответ Решение

Ответ. Через 18 дней.

Решение. Действительно, через 17 дней и ночей улитка окажется на высоте 17 м. За 18 день она поднимется на вершину столба.