МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 5. Не в деньгах счастье (19.11.2005)

Вы, кажется, спросили про какие-то деньги?

О. Бендер

1.

Пятак обкатывают вокруг неподвижного пятака. Сколько оборотов он сделает к моменту возвращения в исходную точку?

Ответ Решение

Ответ. Два оборота.

Решение. Отметим один радиус на монете, которая обкатывается. Когда монета окажется с противоположного конца неподвижной монеты, радиус будет направлен также, так как точка касания прежде была противоположна концу радиуса, а точка касания проделает путь, равный половине длины края монеты. То есть монета к этому моменту сделает один полный оборот, а всего за весь путь — два оборота.

2.

В копилке лежит 20 рублёвых монет и 20 двухрублёвых монет. Какое наименьшее число монет нужно выковырять из копилки, чтобы среди них наверняка оказались а) две монеты одного достоинства; б) две двухрублёвых монеты; в) две монеты разного достоинства?

Ответ

Ответ. а) три; б) 22; в) 21.

3.

Две хозяйки покупали молоко каждый день в течение месяца. Цена на молоко ежедневно менялась. Средняя цена молока за месяц оказалась равной 20 рублям. Ежедневно первая хозяйка покупала по одному литру, а вторая — на 20 рублей. Кто из них потратил за этот месяц больше денег и кто купил больше молока?

Ответ Решение

Ответ. Хозяйки потратили денег поровну, но вторая купила больше молока.

Решение. Так как первая хозяйка покупала ежедневно одинаковое количество молока, то средняя цена купленного ею литра молока равна средней цене молока за месяц. Поскольку ежедневно она покупала 1 литр, то в среднем она тратила 20 рублей в день — так же, как и вторая хозяйка, следовательно, они потратили одинаковое количество денег. В те дни, когда молоко дешевое (стоит меньше, чем 20 рублей за литр), вторая хозяйка покупала больше молока, чем первая, а в те дни, когда молоко дорогое (стоит больше, чем 20 рублей за литр), вторая хозяйка покупала меньше молока, чем первая. Таким образом, вторая хозяйка действовала более экономно. Поскольку денег они потратили одинаково, то вторая хозяйка купила молока больше.

4.

Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 24 цента и 2 бифштекса. Бармен сказал, что с него 20 долларов 5 центов. Ковбой Джо высказал бармену всё, что он думает о его умении считать. Действительно ли бармен ошибся?

Ответ Решение

Ответ. Бармен ошибся.

Решение. Суммарная стоимость всех покупок должна быть чётным числом.

5.

Есть 101 монета, среди них одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек определить, легче или тяжелее фальшивая монета?

Решение

Решение. Взвешиваем на чашах весов по тридцать монет. Если весы уравновесились, то эти 60 монет — настоящие. Сравниваем оставшуюся 41 монету с настоящими и получаем ответ. Если весы не уравновесились, то 41 монета — настоящие. Сравниваем любую кучку из тридцати монет с настоящими и получаем ответ.

6.

Играют двое. Они по очереди выкладывают на круглый стол одинаковые монеты. Класть монеты друг на друга нельзя. Проигрывает тот, кому некуда положить очередную монету. Кто из игроков может гарантированно обеспечить себе победу — начинающий или его соперник? Как он должен играть?

Ответ Решение

Ответ. Выигрышная стратегия есть у первого игрока.

Решение. Первый кладёт монету в центр, после чего кладёт монеты, симметричные монетам, положенным вторым игроком, относительно центра стола.

7.

Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль «Запорожец» и $2600. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил «Запорожец» и $1000. Сколько стоил «Запорожец»?

Ответ

Ответ. $2200

8.

На столе лежат монеты. 15 из них — орлом вверх, остальные — орлом вниз. Требуется с завязанными глазами разложить эти монеты на две кучи так, чтобы в этих кучах число монет, лежащих орлом вверх, было одинаково. Количество монет в кучах может быть разным (куча может состоять из любого количества монет, в том числе из одной или еще меньше), монеты можно переворачивать, но определить наощупь, как лежит монета, невозможно.