МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 20. Разумный перебор (8.04.2006)

1.

В январе некоторого года было 4 понедельника и 4 пятницы. Каким днем недели могло быть 20-е число этого месяца?

2.

Подберите натуральные числа х, у и z так, чтобы выполнялось равенство 28x + 30y + 31z = 365.

3.

Числитель и знаменатель дроби увеличили на треть. Могла ли дробь при этом уменьшиться?

4.

В стране три города: Правдин, Лгунов и Переменск. Жители Правдина всегда говорят правду, Лгунова — лгут, а жители Переменска строго попеременно лгут и говорят правду. Пожарным позвонили: «У нас в городе пожар!» «Где горит?» «В Переменске». Пожарные уверены, что пожар есть. Куда им ехать?

5.

Сколько диагоналей имеет 20-угольник?

6.

В кабине лифта 20-этажного дома есть две кнопки. При нажатии на одну из них лифт поднимается на 13 этажей, при нажатии на другую — опускается на 8 этажей. Как попасть с 13 этажа на 8-й?

7.

В трех кучках находится 22, 14 и 12 орехов. Нужно за три перекладывания уравнять число орехов во всех кучках, причём из одной кучки в другую разрешено перекладывать лишь столько орехов, сколько их в этой второй кучке.

8.

а)

Придумайте семизначное число, все цифры которого различны и которое делится на все эти цифры.

б)

Существует ли такое восьмизначное число?