МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 5. Логика (19.11.2005)

1.

Пятак обкатывают вокруг неподвижного пятака. Сколько оборотов он сделает к моменту возвращения в исходную точку?

Ответ Решение

Ответ. Два оборота.

Решение. Отметим один радиус на монете, которая обкатывается. Когда монета окажется с противоположного конца неподвижной монеты, радиус будет направлен также, так как точка касания прежде была противоположна концу радиуса, а точка касания проделает путь, равный половине длины края монеты. То есть монета к этому моменту сделает один полный оборот, а всего за весь путь — два оборота.

2.

Две хозяйки покупали молоко каждый день в течение месяца. Цена на молоко ежедневно менялась. Средняя цена молока за месяц оказалась равной 20 рублям. Ежедневно первая хозяйка покупала по одному литру, а вторая — на 20 рублей. Кто из них потратил за этот месяц больше денег и кто купил больше молока?

Ответ Решение

Ответ. Хозяйки потратили денег поровну, но вторая купила больше молока.

Решение. Так как первая хозяйка покупала ежедневно одинаковое количество молока, то средняя цена купленного ею литра молока равна средней цене молока за месяц. Поскольку ежедневно она покупала 1 литр, то в среднем она тратила 20 рублей в день — так же, как и вторая хозяйка, следовательно, они потратили одинаковое количество денег. В те дни, когда молоко дешевое (стоит меньше, чем 20 рублей за литр), вторая хозяйка покупала больше молока, чем первая, а в те дни, когда молоко дорогое (стоит больше, чем 20 рублей за литр), вторая хозяйка покупала меньше молока, чем первая. Таким образом, вторая хозяйка действовала более экономно. Поскольку денег они потратили одинаково, то вторая хозяйка купила молока больше.

3.

На острове живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные всегда говорят только правду. У каждого жителя острова есть одно любимое время года. Каждому островитянину было задано 4 вопроса:

• Любите ли Вы зиму?
• Любите ли Вы осень?
• Любите ли Вы лето?
• Любите ли Вы весну?

На первый и второй вопрос утвердительно ответили по 25 человек, на третий — 45, на четвёртый — 55. Сколько лжецов на острове?

Ответ Решение

Ответ. 25

Решение. Если бы все жители острова говорили правду, было бы дано 100 утвердительных ответов. Каждый лжец даёт три утвердительных ответа вместо одного, то есть он увеличивает общее число утвердительных ответов на два. Так как всего было дано 25 + 25 + 45 + 55=150 утвердительных ответов, то количество лжецов равно 50:2=25.

4.

Есть 101 монета, среди них одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек определить, легче или тяжелее фальшивая монета?

Решение

Решение. Взвешиваем на чашах весов по тридцать монет. Если весы уравновесились, то эти 60 монет — настоящие. Сравниваем оставшуюся 41 монету с настоящими и получаем ответ. Если весы не уравновесились, то 41 монета — настоящие. Сравниваем любую кучку из тридцати монет с настоящими и получаем ответ.

5.

В городе Глупове живут только полицейские, воры и обыватели. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, а обыватели — ворам. Во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды несколько глуповцев водили хоровод и каждый сказал своему правому соседу: «Я — полицейский». Сколько обывателей было в этом хороводе?

Ответ Решение

Ответ. Обывателей не было.

Решение. Ясно, что хоровод не может состоять из одних обывателей — обыватели друг другу не врут. Значит, в хороводе есть хотя бы один вор или полицейский. Но справа от каждого полицейского в этом хороводе должен стоять либо полицейский, либо вор. Справа от каждого вора должен стоять полицейский. Значит, обывателей в хороводе быть не может.

6.

На острове живут только рыцари (которые всегда говорят правду) и лжецы (которые всегда лгут). Трое из них сделали по два заявления.
Первый сказал: «На острове живёт не более 3 человек»; «Все жители острова — лжецы».
Второй сказал: «На острове живёт не более 4 человек»; «Не все жители острова — лжецы».
Третий сказал: «На острове живёт 5 человек»; «На острове не менее 3 лжецов».
Сколько человек живёт на острове и сколько среди них лжецов?

Ответ Решение

Ответ. На острове живёт четыре человека, из них двое лжецов.

Решение. Так как первый сказал, что все жители острова — лжецы, он не может быть рыцарем. Значит, он лжец, и на острове живёт больше трёх человек. Так как второе утверждение второго противоречит ложному утверждению первого, то второй — рыцарь. Значит, на острове не более четырёх человек. Тогда их всего четверо. Значит, солгал третий. Поэтому на острове меньше трёх лжецов. Поскольку первый и третий являются лжецами, то лжецов двое.

7.

Таня задумала целое число от 1 до 100. Саша пытается его угадать. При его удаче Таня говорит: «Угадал!» Если не угадал, то Таня число меняет: делит на Сашино, если делится нацело, иначе умножает на Сашино число и прибавляет единицу (не сообщая ему ничего). Докажите, что Саша сможет угадать число, задуманное первоначально Таней.

Доказательство

Доказательство. Саша может действовать следующим образом:

1. называет число 1; если не угадал, то
2. предполагает, что в начале было загадано число 2, и считает, какое бы тогда число в данный момент (после одной неудачной попытки) загадывает Таня, и называет его; если не угадал, то
3. предполагает, что в начале было загадано число 3, и считает, какое бы тогда число в данный момент (после двух неудачных попыток) загадывает Таня, и называет его,
   …
100. предполагает, что в начале было загадано число 100, и считает, какое бы тогда число в данный момент (после 99-ти неудачных попыток) загадывает Таня, и называет его.

Одна из 100 попыток угадать число окажется удачной.

8.

Переаттестация Совета Мудрецов из 100 мудрецов происходит так: король выстраивает их в колонну по одному и надевает на голову каждому колпак белого или черного цвета. Каждый мудрец видит цвета колпаков всех остальных мудрецов, но не видит цвет своего колпака. Затем мудрецы по одному называют какой-нибудь цвет (каждому разрешается говорить ровно один раз; то, что говорит один мудрец, слышат все). Если только один из мудрецов совершит ошибку, король простит его, но в противном случае король казнит всех мудрецов, назвавших цвет, отличный от цвета своего колпака. Накануне переаттестации все члены Совета стали договариваться между собой, как избежать казни. Возможно ли это?

Ответ Решение

Ответ. Возможно.

Решение. Один из мудрецов называет белый цвет, если количество белых колпаков, которые он видит на других мудрецах, чётно, и чёрный цвет, если чётно количество чёрных колпаков. Остальные мудрецы видят цвет его колпака и понимают, чётно ли общее количество белых колпаков. Зная чётность числа белых и видя все колпаки, кроме своего, каждый мудрец может понять, какого цвета его колпак.