МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 0. Письменная работа (01.10.2005)

1.

Может ли произведение двух дробных чисел быть целым числом? Если да, приведите пример, если нет, объясните, почему.

Ответ Решение

Ответ. Да, может.

Решение. Например, ⁷/₃·⁶/₇=2.

2.

В замке поселились два привидения. Одно из них поёт, а другое хохочет. В течение каждой минуты каждое из них либо звучит, либо молчит. Поведение же их в последующую минуту зависит от предыдущих событий следующим образом:
Пение в последующую минуту ведёт себя так же, как и в предыдущую, если только в предыдущую минуту не было игры на органе при молчащем смехе. В противном случае оно меняет своё поведение на противоположное.
Если в предыдущую минуту горела свеча, то Смех будет звучать, если звучало Пение, и молчать, если Пение молчало. Если свеча не горела, то Смех будет делать противоположное тому, что делало Пение.
В настоящий момент Смех и Пение оба звучат. Какие действия со свечой и органом нужно совершить, чтобы установить и поддерживать тишину в замке?

Решение

Решение.
Через минуту Смех замолчит, так как он должен делать противоположное тому, что делало Пение. Когда Смех замолчит, нужно играть на органе. Тогда через минуту замолчит Пение. Если на органе больше никогда не играть, Пение всегда будет молчать. Теперь нужно зажечь свечу и не гасить её, и тогда Смех тоже замолчит и будет молчать, пока горит свеча и молчит Пение.
Пока не погаснет свеча, в замке будет царить тишина.

3.

Поставьте 5 фишек на доску размером 8×8, чтобы любой состоящий из девяти клеток квадрат содержал в точности одну фишку.

Решение

Решение. Существует всего восемь способов поставить фишки таким образом. Достаточно привести любой из них.

4.

В начале года в магазине «Сделай сам» винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 100 рублей за 1 кг. 30 февраля цены на винтики повысились на 50%, а цены на шпунтики понизились на 50%. 31 февраля цены на винтики понизились на 50%, а цены на шпунтики повысились на 50%. Какой товар будет самым дорогим в марте? Ответ объясните.

Ответ Решение

Ответ. Гаечки

Решение. 30 февраля винтики стали стоить

100 + 100·	50	=150
	100

рублей, а шпунтики

100 − 100·	50	=50
	100

рублей. 31 февраля винтики стали стоить

150 − 150·	50	=75
	100

рублей, и шпунтики

50 + 50·	50	=75
	100

рублей. Соответственно, гаечки по цене 100 рублей за 1 кг остались самыми дорогими.

5.

Как, имея только три кирпича и линейку, измерить диагональ кирпича?

Решение

Решение.

6.

В парке есть четыре карусели, три качели и два аттракциона с машинками. Вовочка утверждает, что каждый день в августе он катался на двух аттракционах разного вида, и при этом ни разу не повторил свой выбор. Не ошибается ли Вовочка? Ответ подробно объясните.

Ответ Решение

Ответ. Вовочка ошибается.

Решение.
Посчитаем, сколько дней Вовочка мог кататься на качели и машинках. На первом аттракционе с машинками он мог кататься три дня (так как три разных качели), и на втором аттракционе с машинками он мог кататься три дня. Значит, максимум шесть дней он мог кататься на этих двух видах аттракционов.
Теперь посчитаем, сколько дней он мог кататься на карусели и машинках. На первом аттракционе с машинками он мог кататься четыре дня (так как четыре разных карусели), и на втором аттракционе с машинками он мог кататься четыре дня. Значит, максимум восемь дней он мог кататься на этих двух видах аттракционов.
Посчитаем, сколько дней он мог кататься на карусели и качели. К каждой из четырёх каруселей он мог подобрать одну из трёх качелей, то есть у него было всего 4·3=12 вариантов выбора, значит, он мог кататься самое большее 12 дней.
Всего он мог делать различный выбор не более чем 6 + 8 + 12=26 дней, а в августе 31 день, значит, Вовочка ошибся.