МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 14. Попробуй, реши! (25.02.2006)

1.

В деревне 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор — Диме и Никите, а также по соседству живут Евгений с Никитой, Иван с Сергеем, Евгений с Димой, Сергей с Антоном и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками?

2.

Имеются неправильные чашечные весы, мешок крупы и правильная гиря в 1 кг. Как отвесить на этих весах 1 кг крупы?

3.

Петр, пробираясь огородами до Никиты, сделал себе москитную сетку, в которой ровно 100 узелков, и любые два узелка соединены ниточкой. Сколько ниточек потратил Петр на это бесполезное занятие?

4.

Чипполино устроился садовником к графине Вишне. Графиня установила для него повременную форму оплаты труда, при которой тарифная ставка в час составляла 3 монеты. Чипполино работал несколько дней по 6 часов, а несколько дней — по 8 часов, и заработал 78 монет. Сколько дней он мог работать по 6 часов?

Ответ Решение

Ответ. 3 дня.

Решение. Так как в час Чипполино зарабатывал по 3 монеты и всего заработал их 78, то он отработал 26 часов. Пусть a — количество дней, в которые Чипполино работал по 6 часов, b — количество дней, в которые он работал по 8 часов. Тогда 6a + 8b = 26. Из этого следует, что 3a + 4b = 13. Значит, выражение 4b может быть равно 0, 4, 8 или 12, то есть b равно 0, 1, 2 или 3. Рассмотрим все возможные случаи для значения b: b = 0 ⇒ 3a + 4 · 0 = 13 ⇒ 3a = 13
b = 1 ⇒ 3a + 4 · 1 = 13 ⇒ 3a = 9
b = 2 ⇒ 3a + 4 · 2 = 13 ⇒ 3a = 5
b = 3 ⇒ 3a + 4 · 3 = 13 ⇒ 3a = 1 Только во втором случае a принимает целое значение, равное 3. Таким образом, Чипполино мог работать по 6 часов 3 дня.

5.

На одном пруду расцвела лилия. С тех пор каждый день количество лилий на пруду увеличивалось вдвое, и на двадцатый день весь пруд покрылся цветами. На какой день цветами была покрыта половина пруда?

6.

На олимпиаду по математике пришло 2006 школьников. Вася решил одну задачу. Известно, что число участников,

• решивших хотя бы пять задач, в 4 раза больше, чем решивших шесть задач;
• решивших хотя бы четыре задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы пять задач;
• решивших хотя бы три задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы четыре задачи;
• решивших хотя бы две задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы три задачи;
• решивших хотя бы одну задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы две задачи.
• Сколько участников не решило ни одной задачи?

7.

Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две части, из которых можно сложить квадрат. Сделайте это двумя способами.