МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 11. Кто больше?(28.01.2006)

1.

В примере 60 + 40:4 − 2 расставьте скобки так, чтобы получился а) как можно меньший; б) как можно больший результат.

2.

Разместите в квадрате 10×10 как можно больше фигур-скобок, изображённых на рисунке.

Ответ Решение

Ответ. Наибольшее число скобок — 16.

Решение. 17 скобок разместить нельзя, так как они «занимают» 102 клетки.

3.

Используя известные математические символы, получите число 2006 с помощью как можно меньшего количества единиц.

4.

Найдите как можно меньшее четырехзначное число СЕЕМ, для которого существует решение ребуса МЫ + РОЖЬ = СЕЕМ. (Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.)

Ответ Решение

Ответ. 2003

Решение. Поскольку C > P, C > 1. Так как мы ищем наименьшее число, попробуем взять P=1, C=2 и E=0. Тогда M > 2. Случай CEEM=2003 возможен: 35 + 1968=2003 или 38 + 1965=2003.

5.

Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7×7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Покрасьте как можно больше клеток доски таким способом.

Ответ Решение

Ответ. Можно покрасить 33 клеточки.

Решение.

6.

Числа на клетчатой доске 8×8 можно ставить следующим образом. Сначала ставится число 1 в любую клетку. Потом ставится число 2 таким образом, чтобы фигура из клеток 1 и 2 имела ось симметрии. Затем ставится число 3 так, чтобы фигура из клеток 1, 2 и 3 имела ось симметрии. И так далее. Поставьте как можно больше чисел.

Ответ Решение

Ответ. Можно поставить 28 чисел.

Решение.

7.

В одной из вершин куба сидит заяц, но охотникам он не виден. Три охотника стреляют залпом, при этом они «поражают» любые три вершины куба. Если они не попали в зайца, то до следующего залпа заяц перебегает в одну из трёх соседних (по ребру) вершин. Укажите, как стрелять охотникам, чтобы обязательно попасть в зайца за как можно меньшее число залпов.

Ответ Решение

Ответ. Минимальное число залпов — четыре. Охотники обязательно попадут в зайца, сделав следующие залпы: (CFH), (BDE), (DEG), (ACF). (Порядок залпов важен!)

Решение.

Покрасим вершины A, C, F и H в чёрный цвет, а остальные вершины — в белый. Заметим, что любые две соседние вершины будут покрашены в разные цвета. Значит, после каждого залпа заяц перебегает в вершину другого цвета. Сделаем первый залп по вершинам C, F и H. Если заяц находился в чёрной вершине, то либо охотники сразу попали в него, либо заяц находился в вершине A. В последнем случае после залпа заяц перебежит в одну из трех соседних вершин, и залп (BDE) обязательно достигнет цели. Если заяц находился в белой вершине, то после двух выстрелов он снова окажется в белой вершине. Рассуждая аналогично предыдущему случаю, убеждаемся, что залпы (DEG), а потом (ACF) обязательно поразят зайца.

Кто больше: