МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 6 класса

Занятие 14. Задачи Московской математической олимпиады (25.02.2006)

-3.

В кабинете, где занимается 6А класс, три ряда по четыре парты. У Пети есть 21 друг среди одноклассников, Таня ни с кем не дружит, а у всех остальных учеников 6А по одному другу. Сколько учеников в классе?

-2.

В деревне 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор — Диме и Никите, а также по соседству живут Евгений с Никитой, Иван с Сергеем, Евгений с Димой, Сергей с Антоном и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками?

-1.

Петр, пробираясь огородами до Никиты, сделал себе москитную сетку, в которой ровно 100 узелков, и любые два узелка соединены ниточкой. Сколько ниточек потратил Петр на это бесполезное занятие?

Задачи

1.

На олимпиаду по математике пришло 2006 школьников. Вася решил одну задачу. Известно, что число участников,

• решивших хотя бы пять задач, в 4 раза больше, чем решивших шесть задач;
• решивших хотя бы четыре задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы пять задач;
• решивших хотя бы три задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы четыре задачи;
• решивших хотя бы две задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы три задачи;
• решивших хотя бы одну задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы две задачи.
• Сколько участников не решило ни одной задачи?

2.

В таблице 3×3 сумма чисел в любой строке и любом столбце равна нулю. Известно, что число нулей в таблице чётно. Какое наибольшее число нулей может быть?

4.

Четыре фальшивые монеты и пять настоящих расположены по кругу. Известно, что никакие две фальшивые монеты не лежат рядом. Все настоящие монеты весят одинаково, и все фальшивые — одинаково, но больше, чем настоящие. За два взвешивания на чашечных весах без гирек определите все фальшивые монеты.

5.

Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две части, из которых можно сложить квадрат. Сделайте это двумя способами.