МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 6. Площади многоугольников

Строгое введение понятия площади фигуры оказывается значительно более сложным делом, чем это может показаться на первый взгляд. Мы не будем этим заниматься, ограничившись лишь рассмотрением площадей многоугольников. Более того, из всех свойств площади будет достаточно использовать лишь следующие три.

Площадь любого многоугольника — положительное число.
Если многоугольник разрезан на несколько многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих частей.
Площадь треугольника равна половине произведения длины любой его стороны на длину высоты, опущенной на эту сторону (говоря короче: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту).

Многоугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими. Если один из многоугольников можно разрезать на несколько частей, из которых можно сложить другой, то эти многоугольники называются равносоставленными. Очевидно, что любые равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Действительно, разрезанием и складыванием невозможно изменить площадь. Гораздо сложнее обратное утверждение, которое, тем не менее, верно. Любые два равновеликих многоугольника являются равносоставленными.

Часто использование понятия площади многоугольника позволяет решить задачу, в формулировке которой понятие площади само по себе не фигурирует.

Решение задачи 3 занятия 5. Треугольники ABC и ABD равновелики, так как они имеют общее основание AB и равные высоты, опущенные на него. Вычитая площадь их общей части — треугольника AOB, получаем, что площади треугольников BOC и AOD равны.

1.	а) Докажите, что медиана делит треугольник на две равновеликие части. б) докажите, что три медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.
2.	а) В треугольнике ABC точка C₁ лежит на стороне AB, точка K — на отрезке CC₁. Докажите, что S_ACK/S_BCK = AC₁/C₁B. б) Теорема Чевы. Три точки A₁, B₁ и C₁ выбраны на сторонах BC, AC и AB треугольника ABC так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Доказать, что (AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/C₁A)=1.
3.	Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что S_AOB·S_COD= S_BOC·S_DOA.
4.	Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника до его сторон не зависит от положения этой точки.
5.	Докажите, что площадь правильного восьмиугольника равна произведению наибольшей и наименьшей диагонали.
6.	Найдите площадь треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге. Площадь одной клетки равна 1.
7.	Могут ли длины высот треугольника равняться 1, 2 и 3?
8.	Длины сторон треугольника больше 100. Может ли его площадь быть меньше 1?
9.	Кошка бегает за мышкой по доске, изображённой на а) первом; б) втором рисунке. За один ход можно перейти в соседнее поле (по нарисованному отрезку). Начинает кошка. Кошка съедает мышку, если оказывается с ней в одном месте. Удастся ли ей это?
10.	Разрежьте квадрат со стороной 5 на несколько частей, из которых можно сложить два квадрата со сторонами 3 и 4.