МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 26.  Задачи «на прощание»

Сегодняшнее занятие — последнее в учебном году. Кроме обычного набора задач на сегодняшний день мы предлагаем Вам несколько задач для длительного решения. Эти задачи достаточно сложные, решение любой из них может стать для Вас небольшим открытием. Не огорчайтесь, если задача в течение длительного времени не поддаётся Вашим усилиям. Решение сложных задач — это и есть то, чем занимаются математики. Порой на решение одной задачи уходят годы. Не бойтесь, если тема той или иной задачи Вам не знакома. Например, стереометрию Вы в школе ещё не начали проходить. Но для решения предложенных задач нужны только здравый смысл и немного пространственного воображения.

1.  

Король со свитой движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/час. Каждый час он высылает гонцов в пункт Б, которые движутся со скоростью 20 км/час. С какими интервалами прибывают гонцы в Б?
 

2.  

Докажите, что квадратный трёхчлен ax2 + bx + c принимает целые значения при всех целых x тогда и только тогда, когда 2a, a + b и с — целые.
 

3.  

Парус имеет вид невыпуклого четырёхугольника ABCD, у которого величины углов A, B и D равны 45o. Найдите площадь паруса, если AC = 4 м.
 

4.  

Можно ли разложить 552 гири весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 552 г на три кучки равной массы?
 

5.  

В большую шкатулку положили 10 шкатулок поменьше. В некоторые из вложенных шкатулок положили ещё по 10 шкатулок поменьше, и так далее. В результате оказалось 222 шкатулки с содержимым. А сколько пустых шкатулок?
 

6.  

Через точку пересечения биссектрис AD и CE треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Докажите равенство MN = AM + CN.
 

7.  

Три положительных числа a, b и c таковы, что a2 - ab + b2 = c2. Докажите неравенство (a - c)(b - c) < 0.
 

8.  

Точки K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD. Внутри четырёхугольника выбрали такую точку S, что четырёхугольник AKSN — параллелограмм. Докажите, что и четырёхугольник CLSM — параллелограмм.
 

Задачи для длительного решения

  1. В турнире по волейболу участвовали n команд. Каждая сыграла с каждой по одному разу. Для каждой команды посчитали количество её побед (получились числа v1, v2, ..., vn) и поражений (получились числа l1, l2, ..., ln). Докажите равенство

    v12 + v22 + ... + vn2 = l12 + l22 + ... + ln2.

  2. Можно ли четырьмя сферическими непрозрачными шарами (не обязательно равных радиусов) закрыть точечный источник света в пространстве?

    Другая формулировка. В пространстве задана точка. Можно ли расположить четыре непересекающихся шара так, чтобы данная точка не принадлежала ни одному из них, а любой начинающийся в ней луч пересекал хотя бы один из шаров?

  3. Как нужно расположить спичечный коробок в пространстве, чтобы площадь его тени была минимальна?

    Другая формулировка. В пространстве задан прямоугольный параллелепипед. Проведите плоскость так, чтобы площадь проекции параллелепипеда на неё была минимальна.

  4. На плоскости отмечено несколько точек, причём расстояние между любыми двумя из них меньше 1. Докажите, что все их можно покрыть кругом радиуса 31/2/3.

  5. Существует ли многочлен от двух переменных P(x,y), множеством значений которого является множество всех положительных чисел?

  6. Существует ли такая ограниченная последовательность {xn}, что для любых n и m выполнено неравенство

    |xn - xm| > 1/|n - m|?

  7. Сколько решений имеет уравнение

    log1/16x = x1/16?

  8. Докажите, что любое положительное рациональное число можно представить в виде суммы различных чисел, обратных натуральным.

  9. Докажите, что если сечение пространственной фигуры любой плоскостью — круг, то эта фигура — шар.

  10. Докажите, что если многочлен P(x) степени n принимает целые значения при x = 0, 1, 2, ..., n - 1, то он принимает целые значения при всех целых x.