МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 16.  Геометрические построения

1.  

Постройте параллелограмм по высоте, основанию и углу между диагоналями.
 

2.  

Постройте треугольник по трём медианам.
 

3.  

В квадрате отметили по точке на каждой стороне, а сам квадрат стёрли. Восстановите его.
 

4.  

В треугольнике отметили середины сторон, а сам треугольник стёрли. Восстановите его.
 

5.  

Через данную точку на стороне треугольника проведите прямую, делящую площадь треугольника пополам.
 

6.  

Внутри треугольника ABC найдите такую точку M, что SAMB : SBMC : SCMD = 1 : 2 : 3.
 

7.  

а) Докажите, что середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
б) На плоскости нарисованы две параллельные прямые и отрезок на одной из них. Имея только линейку, найдите середину отрезка. (Замечание. С помощью линейки можно проводить прямую через любые две имеющиеся точки. Никакие другие операции невозможны. «Делений» на линейке нет!)
 

8.  

Число a + (1/a) целое. Докажите, что a2 + (1/a2) тоже целое.
 

9.  

Найдите все натуральные числа n такие, что числа n, n + 2 и n + 4 — простые.