МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Круг разделён радиусами на 6 равных секторов. В каждом секторе стоит фишка. Разрешается одновременно перемещать две любые фишки в соседние сектора: одну по часовой стрелке, а другую — против. Можно ли таким образом собрать все фишки в одном секторе?
 

На столе стоят 16 стаканов. Из них 15 стаканов стоят правильно, а один перевернут донышком вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре стакана. Можно ли, повторяя эту операцию, поставить все стаканы правильно?
 

Имеется n целых чисел (n>1). Известно, что каждое из них отличается от произведения всех остальных на число, кратное n. Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на n.
 

На доске записана дробь 10/97. Разрешается прибавлять к числителю и знаменателю одно и то же число или умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. Можно ли в результате нескольких таких действий получить дробь, равную а) 1/2; б) 1?
 

На шахматной доске разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки. Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в чёрный цвет? Рассмотрите случаи размера доски а) 8×8; б) 9×9.
 

На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться так, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?
 

В алфавите племени Мумбу-Юмбу есть лишь две буквы А и Б. Два разных слова обозначают одно и то же понятие, если одно из них может быть получено из другого с помощью следующих операций:

• в любом месте слова комбинацию букв АБА можно заменить на БАБ;
• из любого места можно выкидывать две одинаковые буквы, идущие подряд.

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени тройки чётна.