МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 17. Десятичные записи чисел

Для того, чтобы записать натуральное число a в десятичной системе счисления, мы его представляем в виде
A=10ⁿ·a_n+10^n-1·a_n-1+...+10·a₁+a₀, где a_n,a_n-1,...,a₀ - цифры от 0 до 9, причем a_n не равно 0. При этом цифра единиц a₀ - это остаток от деления числа a на 10. Рассмотрим примеры задач.

Задача. Между цифрой единиц и цифрой десятков двузначного числа вставили ноль, и оказалось, что полученное число в девять раз больше исходного. Найти исходное число. Решение. Запишем исходное число в виде 10a+b, где a – частное, а b – остаток от деления числа на 10. Теперь заметим, что после того, как мы впишем нуль между цифрой десятков и единиц наше число станет равным 100a+b. Запишем: 9(10a+b)=100a+b, откуда 10a=8b, 5a=4b. Значит, цифра b делится на 5, откуда b=0 или b=5. Поскольку a и b - не нули одновременно, a=4 и b=5. Исходное число – 45.

Задача. Может ли квадрат натурального числа кончаться на 7?

Решение. Пусть число a делится на 10 с остатком r, то есть r - последняя цифра a. Тогда число а² делится на 10 с тем же остатком, что и r² (остатки можно умножать). Перебрав все цифры, убеждаемся, что ни у одной из них квадрат не кончается на 7.

Задача 8 занятия 15. Докажите, что предпоследняя цифра любой степени тройки чётна.

Доказательство будем проводить по индукции.
База: у 3¹ последняя цифра чётна (ноль).
Шаг: пусть 3ⁿ=10a+b, где a - частное, а b - остаток от деления 3ⁿ на 10. Поскольку b нечётно и не делится на 5, то оно может принимать значения 1, 3, 7 или 9. В любом из этих четырёх случаев цифра десятков числа 3b чётна (она равна нулю, если b=1 или 3 и двойке, если b=7 или 9). Чётность предпоследней цифры числа 3ⁿ означает чётность числа a. Тогда 3ⁿ⁺¹=3·3ⁿ=3(10a+b)=30a+3b. У этого числа цифра единиц такая же, а цифра десятков имеет ту же чётность, как и у числа 3b. Значит, цифра десятков чётна.

1.	а) Докажите, что число ХАХА делится на 101 (одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры). б) Докажите, что число ХАХАХА делится на 7.
2.	а) Докажите, что число 111...11 (81 единица) делится на 81. б) Верно ли, что если сумма цифр числа делится на 81, то и оно само делится на 81?
3.	Предпоследняя цифра числа, являющегося точным квадратом, нечётна. Докажите, что последняя - 6.
4.	Найдите четырёхзначное число, являющееся точным квадратом, у которого две первые цифры совпадают и две последние тоже совпадают.
5.	Решите ребус ОДИН + ОДИН = МНОГО (одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные — разные).
6.	Докажите, что степень двойки не может оканчиваться на четыре одинаковые цифры.
7.	Восстановить треугольник по двум его вершинам и прямой, содержащей биссектрису, выходящую из третьей вершины.
8.	В шести секторах круга стоят числа: 1, 0, 1, 0, 0, 0. Разрешается одновременно прибавлять по единице к двум соседним числам. Докажите с помощью таких операций нельзя сделать все числа равными.
9.	Десятичная запись числа начинается с единицы, а если её перенести в конец записи, то число увеличится в три раза. Найти такое число.
10.	Докажите, что существует бесконечно много таких троек натуральных чисел a, b, c, что a! = b! · c!. (Факториалом n! натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от единицы до него: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n).