МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке C' и продолжения сторон CA и CB в точках A' и B' соответственно. Найдите длины отрезков AA', BB', AC' и BC', если известны длины сторон треугольника ABC.
 

На плоскости нарисована окружность с центром в точке O и радиусом r. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках M и N. Докажите, что AM · AN = AO² – r².
 

Вершины равностороннего треугольника находятся на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что центры треугольника и шестиугольника совпадают.
 

Найти на гипотенузе прямоугольного треугольника точку M, для которой расстояние между её проекциями на катеты минимально.
 

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
 

Произведение двух положительных чисел больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше четырёх.
 

Точка M лежит внутри квадрата ABCD, причём треугольник AMB равнобедренный с углом при вершине 150°. Докажите, что треугольник CMD равносторонний.
 

Через центр окружности w₁ проведена окружность w₂; a и b — точки пересечения окружностей. Касательная к окружности w₂ в точке b пересекает окружность w₁ в точке A. Докажите, что AB = BC.
 

Известно, что a² + b² = 9 и c² + d² = 16. Докажите неравенства

1 ≤ (a – c)² + (b – d)² ≤ 49.
 

Если для некоторого числа сумма его цифр, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах, то число делится на 11. а) Докажите это. б) Верно ли обратное утверждение?