МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 23. Метод «крайнего»

Иногда решить некоторые задачи помогает рассмотрение какого-либо «крайнего» объекта (наибольшего или наименьшего из фигурирующих в задаче чисел, самой «верхней» или самой «нижней» из данных точек и т. п.)

Решение задачи 7 занятия 21. Выберем наименьшее из чисел, записанных в клетках (если наименьших несколько, то одно из них). Так как это число равно среднему арифметическому своих соседей, то все соседние числа равны выбранному. Действительно, если бы среди соседних чисел были большие выбранного, то были бы и меньшие, что невозможно в силу выбора числа. Аналогично, все соседи соседей также равны исходному числу и т. д. Двигаясь от клетки с исходным числом, мы сможем попасть в любую клетку. Значит, все числа равны между собой.

Указание к задаче 8 занятия 22. Начните рассмотрение с самой левой полоски, в которой есть чёрные клетки.

1.	Можно ли отметить на плоскости 100 точек так, чтобы любая из отмеченных точек лежала в середине отрезка, соединяющего две другие отмеченные точки? А в пространстве?
2.	Сумма положительных чисел x₁, x₂, ..., x₁₀₀ равна 1. Докажите неравенство x₁x₂+x₂x₃+...+x₉₉x₁₀₀≤1/4.
3.	Докажите, что не существует выпуклого многогранника, все грани которого имеют различное количество сторон.
4.	В течение рабочего дня каждый депутат посетил заседание парламента. Все депутаты приходили и уходили в разное время, но никто из них, уходя, больше не возвращался. Оказалось, что любые два депутата встретились на заседании. Докажите, что был момент, когда все депутаты присутствовали.
5.	На столе лежат несколько одинаковых монет без наложений. Докажите, что найдётся монета, которая касается не более трёх других.
6.	Про 21 число известно, что сумма любых пяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел положительна.
7.	По окружности расположены 6 чисел, при этом каждое число равно модулю разности двух следующих за ним по часовой стрелке. Сумма всех чисел равна единице. Найдите эти числа.
8.	Али-Баба пытается проникнуть в пещеру. У входа стоит квадратный стол, в углах которого расположено по сосуду. В каждый сосуд вставлено по селёдке, причём селёдка может располагаться вверх либо головой, либо хвостом. Снаружи расположение селёдок не видно. Али-Баба может засунуть руки в любые два сосуда, нащупать, как расположены селёдки, и установить их в любое положение (т. е. может оставить всё как было, а может перевернуть одну селёдку или обе). Эту операцию можно проводить несколько раз, однако после каждого раза стол начинает быстро вращаться, так что после его остановки невозможно определить, в какие именно сосуды Али-Баба засовывал руки. Дверь в пещеру открывается, если все селёдки стоят одинаково. Помогите Али-Бабе попасть в пещеру.
9.	Ханойская башня. Головоломка «Ханойская башня» представляет собой три штырька, на один из которых нанизаны семь колец убывающих размеров, как показано на рисунке. Разрешается снимать по одному кольцу с любого штырька и нанизывать его на любой другой штырёк, но при этом запрещается класть большее кольцо поверх меньшего. Можно ли, соблюдая эти правила, переложить все кольца на другой штырёк?
10.	На плоскости проведены 100 прямых. Никакие две из них не параллельны, никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей прямые делят плоскость?