МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Докажите, что натуральное число имеет нечётное количество натуральных делителей тогда и только тогда, когда оно является точным квадратом.
 

а) Какой остаток может давать квадрат целого числа при делении на 8?
б) Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы трёх квадратов.
 

Произведение двух целых чисел в два раза больше их суммы. Какие это числа? Найдите все такие пары.
 

Докажите, что не существует целых чисел m и n, удовлетворяющих уравнению 15m² - 7n² = 9.
 

Докажите равенство

1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+...+(1/1999)-(1/2000) =
= (1/1001)+(1/1002)+...+(1/2000).
 

Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, поворачивая на 90^o (направо или налево) через каждые 15 минут. Докажите, что она может вернуться в исходную точку только через целое количество часов.
 

Каждое из пяти чисел a, b, c, d и e равны 1 или -1. Разрешается выбирать любые три из них и спросить, чему равно их произведение. Как, задав три таких вопроса, узнать, чему равно значение a?
 

Разбирается дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления.