МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Принцип Дирихле опровергнут!

Их было десять чудаков, тех спутников усталых,
Что в дверь решили постучать таверны «Славный малый».

— Пусти, хозяин, ночевать, не будешь ты в убытке,
Нам только ночку переспать, промокли мы до нитки.

Хозяин тем гостям был рад, да вот беда некстати:
Лишь девять комнат у него и девять лишь кроватей.

— Восьми гостям я предложу постели честь по чести,
А двум придётся ночь поспать в одной кровати вместе.

Лишь он сказал, и сразу крик, от гнева красны лица:
Никто из всех десятерых не хочет потесниться.

Как охладить страстей тех пыл, умерить те волненья?
Но старый плут хозяин был и разрешил сомненья.

Двух первых путников пока, чтоб не судили строго,
Просил пройти он в номер А и подождать немного.

Спал третий в Б, четвёртый в В, в Г спал всю ночь наш пятый.
В Д, Е, Ж, З нашли ночлег с шестого по девятый.

Потом, вернувшись снова в А, где ждали его двое,
Он ключ от И вручить был рад десятому герою.

Хоть много лет с тех пор прошло, неясно никому,
Как смог хозяин разместить гостей по одному.

Иль арифметика стара, иль чудо перед нами,
Понять, что, как и почему, вы постарайтесь сами.
 

36 = 35, как ясно из следующего рисунка:

Можно ли расположить в пространстве четыре (не обязательно одинаковых) шара так, чтобы любой луч, с началом в данной точке, пересёк по крайней мере один из них?

Другая формулировка: можно ли четырьмя непрозрачными шарами полностью закрыть точечный источник света?
 

Чему равен радиус наибольшей окружности на шахматной доске, проходящей только по чёрным клеткам? (Сторона клетки имеет длину 1.)
 

Имеется стакан, наполненный водой, и стакан, наполненный вином. Несколько раз производится следующая операция. Берётся ложка жидкости из одного стакана и переливается во второй и наоборот. После каждого переливания содержимое стаканов тщательно перемешивается. Может ли в результате оказаться равная концентрация вина в обоих стаканах?
 

Четыре жука, расположенные в вершинах квадрата ABCD со стороной 1 м, начинают ползти так, что a в каждый момент ползёт в направлении b, b - в направлении c, c - в направлении d, а d - в направлении a. Какое расстояние они проползут до встречи?
 

Шахматный король обошёл все клетки шахматной доски ровно по одному разу и вернулся в исходную клетку, причём его путь не имел самопересечений. Какова могла быть наибольшая длина его пути?
 

Можно ли составить куб 6×6×6 из кирпичей-параллелепипедов размером 1×2×4?
 

Постройте квадрат, зная по одной точке на каждой его стороне.
 

В равнобедренном треугольнике величина угла при основании AC равна 80°. Из вершин A и C проведены лучи до пересечения с боковыми сторонами в точках D и E соответственно. РCAD = 60°, РACE = 50°. Определите величину угла ADE.
 

Разложите многочлен x⁸ + x⁴ + 1 на четыре множителя.
 

Докажите, что при любом натуральном n число 10ⁿ + 18n – 1 делится на 27.