МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 12. Комбинаторика. Вероятность

Задачи, в которых требуется найти количество способов что-то сделать или количество случаев, при которых имеет место какое-то событие, относятся к комбинаторике.

Предположим, нам надо подсчитать, сколькими способами можно осуществить некоторое действие. Предположим также, что нам удалось разбить это действие на две части, причём первую часть можно осуществить n способами, а вторую часть — m способами. Тогда очевидно, что всё действие целиком можно осуществить n · m способами. Это утверждение называют основным правилом комбинаторики, или правилом произведения.

Например, если в меню в столовой вам предлагают два варианта первого блюда, четыре второго и три третьего, то выбрать обед из трёх блюд можно 2 · 4 · 3 = 24 способами.

Родственными к комбинаторным являются вероятностные задачи. Вероятностью события называют отношение количества случаев, при которых данное событие имеет место, к общему количеству возможных случаев. (Если случаи равновероятны.)

Например, при бросании игральной кости возможны шесть различных результатов; из них лишь в одном выпадает шестёрка. Поэтому вероятность выпадания шестёрки равна 1/6.

Сколько различных слов (не обязательно осмысленных) можносоставить, переставляя следующие карточки:

Сколько различных календарей нужно напечатать, чтобы из них наверняка можно было выбрать календарь на любой год?

Найти сумму коэффициентов многочлена (x - 2)¹⁹⁹⁹.

Грани кубика раскрашиваются в шесть данных цветов. Сколькими способами это можно сделать? Раскраски, получаемые друг из друга вращениями кубика, считаются а) различными; б) одинаковыми.

После окончания спектакля «Ревизор» Бобчинский и Добчинский начали препираться на сцене по поводу того, кто первый сказал «Э!».
Бобчинский: Это Вы, Пётр Иванович, первый сказали «Э!». Вы сами раньше так говорили.
Добчинский: Нет, Пётр Иванович, я так не говорил. Это Вы сёмгу первый заказали. Вы и сказали «Э!». А у меня зуб во рту со свистом.
Бобчинский: Что я сёмгу первый заказал, это верно. И верно, что у Вас зуб со свистом. Но всё-таки это Вы первый сказали «Э!».
Выясните, кто первый сказал «Э!», если известно, что из девяти произнесённых фраз нечётное число верных.

В колоде 52 карты. Какова вероятность, что две наугад выбранные карты из колоды окажутся тузами?

Какой результат более вероятен при бросании двух игральных костей: 7 или 8?

Какова вероятность, что при бросании трёх игральных костей выпадет хотя бы одна шестёрка?

Известно, что доля блондинов среди голубоглазых больше, чем доля блондинов среди всех людей. Что больше — доля голубоглазых среди блондинов или доля голубоглазых среди всех людей?

10.

Найдите ошибку в следующем «доказательстве» того, что все числа равны. Рассмотрим два произвольных числа a и b и запишем равенство

a = b + c.

Умножив обе его части на a - b, получим a² - ab = ab + ac - b² - bc. Перенесём ac в левую часть:

a² - ab - ac = ab - b² - bc,

и разложим на множители:

a(a - b - c) = b(a - b - c).

Разделив обе части равенства на a - b - c, получаем a = b.