МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 3. «Верно ли, что ...?»

Часто вопрос задачи начинается словами «Верно ли, что ...» или «Можно ли утверждать, что ...». Если ответ в такой задаче отрицательный, то достаточно привести один пример, для которого условие не выполнено (такой пример называют контрпримером). Если же ответ положительный, то необходимо доказать, что условие выполнено во всех возможных случаях.

Обратно, если в задаче спрашивается «Существует ли ...?» или «Бывает ли так, что ...?», то обоснованием положительного ответа может служить один пример, а в случае отрицательного ответа нужно привести доказательство.

Приведём решения двух задач. Начнём с первой задачи занятия 1.

Условие. Аня, Боря, Вася и Галя собирали грибы. Аня собрала грибов больше всех, Галя — не меньше хотя бы одного из остальных. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?

Ответ: да, верно. Докажем это. Поскольку Галя собрала грибов не меньше всех, то один из мальчиков собрал меньше неё или столько же. Не ограничивая общности, будем считать: это Вася. Поскольку Аня собрала больше всех, то она собрала больше Бори. Имеем А > Б, Г > В (через А, Б, В и Г обозначены количества грибов, собранных детьми с именами на соответствующую букву). Сложив эти неравенства, получаем А + Г > Б + В, а это и значит, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики.

Задача. Аня, Боря, Вася, Галя, Даша и Егор собирали грибы. Больше всех грибов собрала Аня, а меньше всех — не Галя и не Даша. Верно ли, что девочки собрали грибов не меньше, чем мальчики?

Ответ: нет, не верно. Например, пусть количества собранных грибов распределились так: Аня — 6, Боря — 5, Вася — 5, Галя — 2, Даша — 2, Егор — 1. Больше всех собрала Аня, меньше всех — Егор; однако у мальчиков 11 грибов, а у девочек только 10.

Замечание. При решении последней задачи можно рассуждать следующим образом. По условию, кто-то из мальчиков собрал грибов меньше, чем Галя, и кто-то — меньше, чем Даша. Если это разные мальчики, то рассуждения, аналогичные приведённым в решении задачи А, показывают, что девочки собрали грибов больше. Значит, контрпример можно построить, только если дети расположились по количеству собранных грибов в таком порядке: сначала Аня, потом два мальчика, потом две другие девочки, и в конце ещё один мальчик.

Это рассуждение помогает найти контрпример в задаче, однако для обоснования полученного ответа его можно не приводить. Контрпример сам по себе доказывает, что утверждение ложно. Независимо от того, каким образом он был найден.

1.	Две стороны и три угла одного треугольника равны двум сторонам и трём углам другого треугольника. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны?
2.	а) Можно ли расставить знаки + или – между каждыми двумя соседними цифрами числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9, чтобы полученное выражение равнялось нулю? б) Тот же вопрос, только знаки можно ставить между некоторыми (не обязательно всеми) цифрами.
3.	Можно ли квадрат разрезать на прямоугольники, никакие два из которых не имеют общей стороны?
4.	Числа от 1 до 97 расставили по окружности в произвольном порядке. Может ли сумма любых трёх стоящих подряд чисел быть чётной?
5.	Существует ли самопересекающаяся а) 6-звенная; б) 9-звенная ломаная, пересекающая каждое своё звено ровно один раз?
6.	Верно ли, что при любом целом n число n² + n + 41 простое?
7.	а) Взвод солдат построили в шеренгу. При этом оказалось, что рост каждого солдата (кроме крайних) равен полусумме ростов его соседей. Верно ли, что все солдаты одного роста? б) Взвод солдат построили по кругу. При этом оказалось, что рост каждого солдата равен полусумме ростов его соседей. Верно ли, что все солдаты одного роста?
8.	Существует ли выпуклый четырёхугольник, у которого нет ни центра симметрии, ни оси симметрии, но который можно разрезать прямой на две равные части?
9.	Верно ли, что при любом целом n число n³ - n делится на 6?
10.	Докажите, что среди ныне живущих на Земле людей есть двое родившихся одновременно, с точностью до секунды. (Всего на земле 6 миллиардов жителей; людей старше 150 лет не существует.)