МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Занятие 19. Уравнения

Решение задачи 18.9. Рассмотрим на координатной плоскости (с началом в точке O) две точки: M с координатами (a;b) и N с координатами (c;d). По условию, OM = 3 и ON = 4. Согласно неравенству треугольника,

ON – OM ≤ MN ≤ ON + OM,

то есть 1 ≤ MN ≤ 7, что и требовалось доказать.

Разобранное решение является иллюстрацией того, как геометрическая интерпретация помогает решить уравнение. При решении различных уравнений бывает также полезно воспользоваться заменой переменных, соображениями монотонности, построить график.

Напоминаем, что решить уравнение — значит найти все его решения и доказать, что других нет.

Решите уравнения (1–5):

1.	5/((x+1)^1/2+(x-4)^1/2)+3/(x-4)^1/2+(x-7)^1/2)=2.
2.	2^x+1=3^x.
3.	\|...\|\|\|x-1\|-2\|-3\|...-99\|=100.
4.	(x-3)x(x+3)(x+6)=40.
5.	x⁴-7x³+14x²-7x+1=0.
6.	Докажите, что не существует многочлена P(x) с целыми коэффициентами, у которого P(7)=11, а P(11)=13.
7.	Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению ((x-1)²+y²)^1/2+((x-1)²+(y+2)²)^1/2=2.
8.	Сформулируйте и докажите признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.
9.	Точки M₁ и M₂ - середины отрезков, высекаемых на параллельных прямых параболой y=x². Докажите, что прямая M₁M₂ параллельна оси ординат.
10.	Докажите тождество 1/(1·2)+1/(2·3)+1/(3·4)+...+1/((n-1)n)=(n-1)/n.