МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

На плоскости отмечены 2000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести прямую, (не проходящую ни через одну из отмеченных точек), по обе стороны которой лежит по 1000 точек.
 

Дано 1001 различное натуральное число, меньшее 2000.^* Докажите, что хотя бы одно из них равно сумме двух других. Останется ли это верным, если заменить число 1001 на 1000?
 

^*Данная фраза, хотя и звучит несколько нелепо, грамматически правильна. Имеется в виду, что чисел 1001, все они различны и меньше 2000. Правила русского языка предписывают применять единственное число в такого типа конструкциях.
 

Постройте треугольник ABC, если даны две его вершины A и B, а также прямая, содержащая биссектрису угла C.
 

На продолжении CE стороны AC равностороннего треугольника ABC построен равносторонний треугольник CDE. Буквами M и P обозначим середины отрезков AD и BE соответственно. Докажите, что треугольник CMP равносторонний.
 

а) Я задумал три цифры x, y и z. Вы можете назвать любые три целых числа a, b и c и спросить, чему равна сумма ax + by + cz. За какое минимальное количество вопросов Вы определите задуманные мной цифры?
б) Я задумал три натуральных числа x, y и z. Тот же вопрос.

Квадратный трёхчлен ax² + bx + c принимает целые значения при всех целых x. Следует ли из этого, что а) число c целое; б) числа a и b целые?

На шахматной доске расставили 8 ладей так, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали оказалось по одной ладье. Доску средними лиинями разбили на четыре квадрата 4×4. Верно ли, что в двух из них количества ладей равны?
 

Улицы города идут в трёх направлениях и разбивают его на кварталы — равные правильные треугольники. Согласно правилам дорожного движения, разрешается поворачивать только на 120° (углом поворота называют угол между направлениями движения до и после поворота). Два автомобиля начали движение из одной точки в одном направлении. Может ли оказаться, что в какой-то момент они будут двигаться по одной улице навстречу друг другу?