МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Аня, Боря, Вася и Галя собирали грибы. Аня собрала грибов больше всех, Галя — не меньше хотя бы одного из остальных. Верно ли, что девочки собрали грибов больше, чем мальчики?
 

Число при делении на 1980 и 1981 даёт один и тот же остаток 35. Какой остаток оно может давать при делении на 14?
 

Могут ли две бесконечные арифметические прогрессии положительных чисел иметь ровно два общих члена?
 

Каждый из 65 школьников написал по три контрольные работы и получил за каждую из них одну из оценок 2, 3, 4 или 5. Докажите, что существуют по крайней мере два школьника, оценки которых неотличимы (то есть если один получил, например, 5,3,3, то и другой получил те же оценки 5,3,3, причём в том же порядке).
 

Может ли произведение двух последовательных натуральных чисел быть а) квадратом; б) кубом натурального числа?
 

Контрольную работа называем лёгкой, если на любой парте существует ученик, решивший её хотя бы наполовину, и к тому же не менее половины класса решило её полностью. Дайте определение сложной контрольной работы.
 

Проведите через данную точку прямую, высекающую на двух данных равных окружностях хорды равной длины.
 

Докажите, что не существует многогранник, у которого нечётное число граней, а число сторон любой грани которого нечётно.
 

Существует ли плоскость, пересекающая куб по шестиугольнику?