МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2010/2011 учебный год

Версия для печати

Занятие 7 (06.11.2010). Математическая регата

1 тур (10 минут)

1.
У скольких трёхзначных чисел средней цифрой является 0?
Решение. Подходят числа:
100, 101, 102, ..., 109;
200, 201, 202, ..., 209;
.....................
900, 901, 902, ..., 909.
Всего 9 рядов по 10 чисел. Значит, таких чисел 10·9 = 90.
2.
Разрежьте прямоугольник 3×9 на восемь квадратов.
3.
У 28 человек класса на собрание пришли папы и мамы. Мам было 24, пап — 18. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и папа, и мама?
Решение. Если бы у каждого ученика на собрание пришёл только кто-то один из родителей, то всего родителей было 28. Но их 24 + 18 = 42. „Превышение” получилось из-за того, что у некоторых детей пришли и мама, и папа. Это „превышение” равно 42 − 28 = 14. Значит, и мама, и папа пришли у 14 учеников.

2 тур (15 минут)

1.
Восемь кустов малины растут в ряд, причём количество ягод на любых двух соседних кустах отличается на 1. Может ли всего быть 2011 ягод?
Решение. Не может.
На любых двух соседних кустах количества ягод отличаются на один, а значит, имеют разную чётность. Тогда эти количества чередуются. Т.е. на первом кусте нечётное число ягод, на втором — чётное, на третьем — нечётное и т.д. Или наоборот, на первом кусте — чётное, на втором — нечётное, на третьем — чётное и т.д. В любом случае, ровно на четырёх кустах будет нечётное число ягод, а значит, общее количество чётно, и 2011 быть равно не может.
2.
Нарисуйте восемь точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и каждая точка была бы вершиной ровно четырёх отрезков.
3.
У директора Малого мехмата спросили: „Сколько команд будет участвовать в математической регате?”. Он сказал: „Меньше тридцати двух”. Потом подумал и сказал: „Нет, меньше тридцати одной”, а, подумав ещё минуту, добавил: „Наверное, всё-таки меньше тридцати трёх”. Сколько команд участвовало в регате, если верными оказались ровно два из этих утверждений?
Решение. Из верности второго утверждения следует верность остальных двух. Значит, оно неверно, а первое и третье верны. Получается, что команд было точно хотя бы 31, но меньше 32. Значит, участвовала 31 команда.

3 тур (15 минут)

1.
Вычислите сумму 11 + 12 + … + 70.
Решение. Разобьём числа на пары: первое с последним (11 − 70), второе с предпоследним (2 − 69) и т.д. Получится (70 − 10):2 = 30 пар, в каждой из которых сумма чисел равна 81. Тогда исходное выражение равно 81·30 = 2430.
2.
Разрежьте прямоугольник прямолинейным разрезом на две части, из которых можно сложить треугольник.
3.
В городе Глупове каждый житель — полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, обыватели — ворам, а во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды, когда несколько глуповцев водили хоровод, каждый сказал своему правому соседу: „Я — полицейский”. Сколько в этом хороводе было обывателей?
Решение. Заметим, что правый сосед вора, которому этот вор врет, — обязательно полицейский, а правый сосед полицейского, которому этот полицейский говорит правду, — вор или полицейский. Получается, что если в хороводе есть хотя бы один вор или полицейский, то обывателей в этом хороводе нет. Из одних обывателей хоровод тоже состоять не может, так как тогда они лгали бы друг другу. Значит, обывателей в хороводе не было.

4 тур (20 минут)

1.
В примере на сложение цифры заменили звёздочками. Получилось ** + *** = ****. Известно, что каждое из слагаемых и сумма не изменятся, если прочитать их справа налево. Восстановите исходный пример.
Решение. Первые два числа не могут быть больше 99 и 999 соответственно. Значит, их сумма, равная третьему числу, не превосходит 99 + 999 = 1098 < 2000. Тогда у третьего числа первая цифра (а значит, и последняя) равна 1: ** + *** = 1**1.
Если у второго числа первая цифра меньше 9, то его значение не превосходит 898. Тогда сумма первого и второго числа не превосходит 99 + 898 = 997 < 1000. Такого быть не может, так как третье число четырёхзначное. Тогда у второго числа первая (а значит, и последняя) цифра должна быть равна 9: ** + 9*9 = 1**1.
Чтобы при сложении 9 на конце получалось 1, последняя (а значит, и первая) цифра первого числа должна быть равна 2: 22 + 9*9 = 1**1.
У второго числа оставшаяся неизвестная цифра должна быть больше 6, так как иначе сумма не будет четырёхзначной: 22 + 969 = 991 < 1000. Значит, она равна 7, 8 или 9. Разберём эти три варианта:
22 + 979 = 1001;
22 + 989 = 1011;
22 + 999 = 1021.
Подходит только первый вариант.
Ответ. 22 + 979 = 1001.
2.
Как поставить на стол 8 одинаковых кубиков так, чтобы со всех сторон полностью были видны ровно 23 грани кубиков, а остальные грани видны не были?
3.
Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама — за 2, малыш — за 5, а бабушка — за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей скоростью. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться фонариком тоже нельзя.)
Решение. Переходят папа с мамой (2), папа возвращается (1), переходят малыш с бабушкой (10), мама возвращается (2), и папа с мамой переходят (2). 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS