МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 12 (11.12.2010). Арифметика и весы

1.

Три носорога весят столько же, сколько четыре бегемота и один крокодил. Кто тяжелее: носорог или бегемот?

Решение Ответ

Решение. Уберём крокодила и одного бегемота. Получится, что 3 носорога тяжелее, чем 3 бегемота. А значит, один носорог тяжелее бегемота.

Ответ. Носорог.

2.

3 карася тяжелее 4 окуней. Что тяжелее: 4 карася или 5 окуней?

Решение Ответ

Решение. Составим такую схему:

3 карася > 4 окуня

Так как карасей меньше, но весят они больше, то значит, один карась тяжелее одного окуня. Если в неравенство слева добавить ещё карася, а справа окуня, то левая часть останется больше (так как к большему добавили большее).

Ответ. 4 карася.

3.

Груша и слива весят столько, сколько 2 яблока; 4 груши весят столько, сколько 5 яблок и 2 сливы. Что тяжелее: 7 яблок или 5 груш?

Решение Ответ

Решение.

2 яблока = груша + слива

5 яблок + 2 сливы = 4 груши

Сложив левые и правые части "равенств", получим:

7 яблок + 2 сливы = 5 груш + слива

Уберём по одной сливе:

7 яблок + слива = 5 груш

Если убрать сливу, то 5 груш перевесят 7 яблок.

Ответ. 5 груш тяжелее.

4.

Маленькому Гоше подарили весы, и он начал взвешивать игрушки. Машину уравновесили мяч и 2 кубика, а машину с кубиком уравновесили 2 мяча. Сколько кубиков уравновесят машину?

Решение Ответ

Решение. По условию

машина = мяч + 2 кубика.

Тогда

2 машины = 2 мяча + 4 кубика.

Но также по условию 2 мяча по весу равны машине и кубику. Значит,

2 машины = машина + кубик + 4 кубика.

Убираем из обеих частей "равенства" по машине:

машина = 5 кубиков.

Ответ. 5.

5.

Мосметрострой нанял двух кротов рыть туннель. Первый крот работает быстрее второго, но платят обоим одинаково, учитывая только время. Что выгоднее: чтобы первую половину тоннеля выкопал один крот, а вторую — другой; или, чтобы они начали копать с двух сторон одновременно и копали бы до встречи?

Решение Ответ

Решение. Разделим туннель на одинаковые очень маленькие участки. За каждый участок нужно платить в зависимости от того, за какое время он прорыт: чем быстрее, тем меньше платят. Так как первый крот роет быстрее, то платить ему нужно меньше. Следовательно, выгоднее, чтобы он прорыл как можно большую часть тоннеля. Если каждый будет копать свою часть, то первым кротом будет прорыта ровно половина туннеля. А если копать до встречи, то так как первый копает быстрее, то эта встреча произойдёт на половине второго, а значит, второй пророет больше половины.

Ответ. Выгоднее второй вариант.

6.

9 одинаковых конфет стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких же конфет — 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна конфета?

Решение Ответ

Решение. 9 конфет стоят 11 рублей с копейками, т.е. не меньше 11 рублей, что составляет 1100 копеек. Значит, одна конфета не может стоить меньше 123 копеек, т.е. 1 р. 23 коп. 13 конфет стоят 15 рублей с копейками, т.е. строго меньше 16 рублей, что составляет 1600 копеек. Значит, одна конфета не может стоить больше 123 копеек, т.е. 1 р. 23 коп.

Ответ. 1 р. 23 коп.

7.

В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором на 10 орехов меньше, чем в первом и третьем. Сколько орехов в третьем ящике?

Решение Ответ

Решение. Обозначим количество орехов в ящиках a, b, c соответственно. Тогда условие задачи можно записать так:

a + 6 = b + c

b + 10 = a + c.

Сложив эти равенства, получим:

a + b + 16 = a + b + c + c.

Убираем одинаковые буквы-ящики:

16 = c + c.

А значит, одно c равно 8, т.е. в третьем ящике 8 орехов.

Ответ. 8.

8.

Малышу и Карлсону дали по одинаковому пирогу. Карлсон начал есть свой пирог на минуту позже Малыша, а через две минуты после этого оказалось, что Карлсон уже съел столько, сколько еще осталось съесть Малышу. Докажите, что если бы Малыш и Карлсон ели один пирог вдвоем, то они управились бы с ним меньше, чем за три минуты.

Решение

Решение. Из того что Карлсон уже съел столько, сколько еще осталось съесть Малышу, следует, что если бы они ели не два пирога, а один и тот же, то он был бы съеден. При этом в течение этих трёх минут Карлсон ел не всё время. Значит, если бы они с Малышом начали есть один пирог, причём одновременно, то они управились бы с ним меньше, чем за три минуты.

Дополнительные задачи

9.

Футбольные матчи Зубило-Дробило, Дробило-Крокодило и Крокодило-Зубило оказались очень результативными. Зубило в сумме забило 60 голов, Дробило пропустило 80, а Крокодило забило столько же, сколько и пропустило. Докажите, что в матче Дробило-Крокодило было забито не менее 40 голов.

10.

Четыре чёрненьких чумазеньких чертёнка чертили чёрными чернилами чертёж четыре часа. Если бы первый чертёнок чертил вдвое быстрее, а второй — вдвое медленнее, то им потребовалось бы столько же времени; если бы, наоборот, первый чертил вдвое медленнее, а второй — вдвое быстрее, то они управились бы за два часа сорок минут. За какое время начертили бы чертёж первые три чертёнка без помощи четвёртого?