МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 5 (23.10.2010). Обратный ход

1.

а)

Ваня задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 17. Какое число задумал Ваня?

б)

На этот раз Гоша задумал число. Потом прибавил к нему 5, разделил на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумано?

Решение Ответ

Решение.

а) Так как после прибавления 3 получилось 17, значит, до этого было 17 − 3 = 14. Число 14 получилось после умножения на 2, значит, до этого было 14:2 = 7.

б) Аналогично проделаем все действия в обратном порядке:
2·7 = 14
14 + 6 = 20
20:4 = 5
5·3 = 15
15 − 5 = 10.
Таким образом, задумано было число 10.

Ответ. а) 7; б) 10.

2.

Женщина собрала в саду яблоки. Чтобы выйти из сада, ей пришлось пройти через четыре двери, каждую из которых охранял свирепый стражник, отбиравший половину яблок. Домой она принесла 10 яблок. Сколько яблок досталось стражникам?

Решение Ответ

Решение. После прохождения каждой двери количество яблок уменьшалось в 2 раза. Так как дверей было четыре, то яблок сначала было 10·2·2·2·2 = 160.
Тогда стражники забрали 160 − 10 = 150 яблок.

Ответ. 150.

3.

В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними деревьями посадили ещё по одному. Ещё через год проделали то же самое. Стало 1197 деревьев. Сколько их было изначально?

Решение Ответ

Решение. Если в ряд растут несколько деревьев, то мест между ними для посадки новых на 1 меньше, чем деревьев в ряду. Пусть перед тем, как деревья сажали третий раз, их уже было x. Значит, добавилось ещё x − 1 дерево. Так как их стало 1197, то x + x − 1 = 1197. Тогда 2x − 1 = 1197, 2x = 1198, x = 599. То есть, за год до того, как деревьев стало 1197, их было 599.
Дальше будем рассуждать аналогично. Пусть сначала (то есть за год до того, как деревьев стало 599) их было y. Получаем , что 2y − 1 = 599. Тогда y = 300. Значит, изначально деревьев было 300.

Ответ. 300.

4.

Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал их второму, потом второй проиграл первому половину своих монет, затем опять первый проиграл половину монет. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго 33. Сколько монет было у каждого из пиратов перед началом игры?

Решение Ответ

Решение. В конце игры у первого пирата стало 15 монет. До этого он проиграл половину своих монет второму, значит, перед последней партией у него было 15·2 = 30 монет, тогда у второго было 33 − 15 = 18 монет. Перед тем, как у пиратов стало соответственно 30 и 18 монет, второй проиграл половину своих первому. Значит, ещё раньше (после первой партии) у второго пирата было 18·2 = 36 монет, а у первого 30 − 18 = 12. Перед этим прошла самая первая партия, после которой первый отдал половину своих монет второму. Значит, в самом начале у первого пирата было 12·2 = 24 монеты, а у второго 36 − 12 = 24.

Ответ. По 24 монеты.

5.

На озере расцвела одна лилия. Каждый день количество цветов на озере удваивалось, и на 20-й день все озеро покрылось цветами. На какой день озеро покрылось цветами наполовину?

Решение Ответ

Решение. Каждый день количество лилий удваивалось. Значит, перед последним 20-м днём лилий было в два раза меньше, чем после него. Т.е. они покрывали половину озера.

Ответ. На 19-й день.

6.

С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 74?

Решение

Решение.
74 ← 37 ← 73
74 ← 47
Число 74 можно получить, указанными операциями, из числа 37 (умножением на 2) или из числа 47 (перестановкой цифр). Числа 37 и 47 нечётные, поэтому умножением на 2 их получить нельзя. Перестановкой цифр 37 можно получить из числа 73, а 47 из 74 (начальное число). 73 — нечётное число, поэтому его также можно получить только перестановкой цифр из числа 37 (тоже уже встречалось). Получается, что 74 применением указанных операций можно получить только из чисел 37, 47 и 73. Таким образом, из 1 нельзя получить 74.

7.

Все натуральные числа от 1 до 1000 записали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3 и т.д. На каком месте оказалось число 996?

Решение Ответ

Решение. Сумма цифр числа 996 равна 24. Причём 996 — самое большое из выписанных с такой суммой цифр (так как в первых двух разрядах стоят максимально большие цифры). Значит, перед числом 996 выписаны только числа с суммой цифр 25, 26, 27. (Никакое из выписанных чисел не может иметь сумму цифр, большую 27, так как число 999 имеет максимально возможную сумму цифр из всех трёхзначных, а значит, также и из всех двузначных, и однозначных чисел, а единственное выписанное четырёхзначное число 1000 имеет сумму цифр, равную 1.) Сумму цифр 27 имеет только число 999, сумму цифр 26 — числа 998, 989 и 899, сумму цифр 25 — числа 997, 979, 799; 988, 898, 889. Таким образом, перед числом 996 написано 10 чисел, значит, оно оказалось на 990-м месте.

Ответ. На 990-м месте.

8.

На Малом Мехмате в к. 12-04 всем заходившим туда детям давали шоколадки. Первому зашедшему дали одну шоколадку и десятую часть всех оставшихся, второму зашедшему дали две шоколадки и десятую часть оставшихся, …, девятому зашедшему дали девять шоколадок и десятую часть оставшихся. После этого прибежал Гоша, но, к сожалению, шоколадки уже закончились. Сколько шоколадок получили дети?

Решение Ответ

Решение. Когда пришёл Гоша, то шоколадок уже не осталось, то есть, можно сказать, что их осталось 0 штук. Перед этим в комнату заходил ребёнок (девятый по счёту), которому дали сначала 9 шоколадок, а потом десятую часть оставшихся. Если отдать десятую часть шоколадок, то ещё останется девять десятых. Но девять десятых от количества оставшихся шоколадок оказалось равно 0, значит, и одна десятая тоже равна 0. Таким образом, ребёнок №9 (будем называть его так) получил 9 + 0 = 9 шоколадок. До девятого школьника заходил ребёнок №8. Он получил 8 шоколадок и десятую часть оставшихся. После того, как он ушёл, осталось 9 шоколадок — "девять десятых оставшихся". Значит, "десятая часть оставшихся", равна 1, а всего ребёнок, пришедший восьмым, получил 8 + 1 = 9 шоколадок. Таким образом, перед его приходом было 18 шоколадок. Аналогично можно получить, что перед приходом ребёнка №7 было 27 шоколадок, перед приходом ребёнка №6 — 36 шоколадок, №5 — 45 шоколадок, №4 — 54 шоколадки, №3 — 63 шоколадки, №2 — 72 шоколадки и перед приходом первого ребёнка была 81 шоколадка. Таким образом, дети получили 81 шоколадку.

Ответ. 81 шоколадку.

Дополнительные задачи

9.

Сеня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Какое число задумал Сеня?

Решение Ответ

Решение. В итоге Сеня получил 21, значит, на предпоследнем шаге у него было число вида "21a", где a — некоторая цифра (вычёркиванием её и получается число 21). "21a" было получено умножением на 7, значит, это число должно делиться на 7. Среди чисел, имеющих указанный вид, это 210 и 217. Эти числа могли быть получены умножением на 7 из чисел 30 и 31 соответственно. Значит, число на предыдущем шаге имело вид: "30b" или "31b", где b — некоторая цифра. Оно было получено из исходного числа умножением на 13, а значит, должно делиться на 13. Заметим, что 299 делится на 13, следующее число, делящееся на 13, равно 312, а следующее за ним — 325. Таким образом, среди чисел вида "30b" и "31b" только 312 удовлетворяет условию. Получается, что на втором шаге было 312, а исходное число, которое задумал Сеня, равно 24. Легко проверить, что 24 подходит: 24·13 = 312 → 31·7 = 217 → 21.

Ответ. 24.

10.

По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём не все расставленные числа равны. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывается 0, если эти числа равны, и 1, если они не равны. После этого старые числа стираются. Могут ли через некоторое время все числа стать равными?

Решение

Решение. Предположим, что в некоторый момент все числа стали равными, причём до этого такого не происходило. Если все числа равны 0, то, значит, перед этим любые два соседних написанных числа были равны, так как иначе после очередного хода появилась хотя бы одна 1. Но нетрудно заметить, что из того, что любые два рядом стоящих числа были равны, следует, что все они были равны. Но это противоречит нашему предположению о том, что рассматриваемый момент первый, когда все числа стали равны.
Если же все в рассматриваемый момент все числа равны не 0, а 1, то получается, что в предыдущей расстановке любые два соседних числа были различны (если это не так, то появился хотя бы один 0). Значит, в предыдущей расстановке нули и единицы должны были чередоваться, но так как всего было записано 9 чисел — нечётное число, то этого быть не может. В этом нетрудно убедиться, если выбрать любое число из выписанных и начать двигаться по кругу. Третье, пятое, седьмое и девятое числа будут равны первому. Но первое и девятое числа соседние, а значит, равны быть не могут. Получается, что наше предположение неверно, и все числа стать равными не могут.