МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 15 (19.02.2011). Комбинаторика

1.

Из деревни Филимоново в деревню Ксенофонтово ведут три дороги, а из деревни Ксенофонтово в деревню Оладушкино — четыре дороги. Сколько существует путей из деревни Филимоново в деревню Оладушкино?

Ответ Решение

Ответ. 12.

Решение. Из Филимоново в Ксенофонтово можно доехать тремя способами. Для каждого такого способа есть еще 4 варианта доехать до Оладушкино. Значит, ответ 3·4 = 12.

2.

От дачного поселка проложили две дороги до деревни Филимоново и одну дорогу до Оладушкино. Сколько теперь существует путей от Филимоново до Оладушкино?

Ответ Решение

Ответ. 14.

Решение. Рассмотрим пути из Филимоново до Оладушкино. Каждый из этих путей либо проходит через дачный поселок, либо нет. Путей, не проходящих через него, 12 (см. 1 задачу). Путей, проходящих через дачный поселок всего 2. Значит, всего путей 12 + 2 = 14.

3.

В киоске продаются открытки, на каждой из которых изображены цветы: либо розы, либо гвоздики, либо тюльпаны. Кроме того, на каждой открытке есть поздравительная надпись: либо «С Днём рождения!», либо «С Новым годом!», либо «С 8 Марта!». Какое наибольшее число различных открыток может продаваться в этом киоске?

Ответ

Ответ. 9.

. Решение Для каждого из трех видов цветов есть еще три способа сделать надпись. Значит, всего видов открыток 3·3 = 9. А это и есть наибольшее число различных открыток, которое может продаваться в киоске.

4.

В магазине «Всё для чая» есть 5 видов чашек, 4 вида блюдец и 2 вида ложек. Сколькими способами в этом магазине можно купить:

а) набор из чашки, блюдца и ложки;

Ответ Решение

Ответ. 40.

Решение. Чашку можно выбрать 5 способами, блюдце — 4 и ложку — двумя. Значит, всего способов 5·4·2 = 40.

б)

набор, состоящий из двух разных предметов?

Ответ Решение

Ответ. 38.

Решение. Этот набор может состоять из чашки и блюдца (таких наборов 5·4 = 20), чашки и ложки (таких наборов 5·2 = 10) или блюдца и ложки (таких наборов 4·2 = 8). Т.е. всего способов 20 + 10 + 8 = 38.

5.

Назовем натуральное число симпатичным, если в его записи встречаются только четные цифры. Сколько существует симпатичных четырехзначных чисел?

Ответ Решение

Ответ. 500.

Решение. На первое место симпатичного четырехзначного числа можно поставить одну из четырех цифр: 2, 4, 6, 8. На каждую из оставшихся трех позиций можно поставить одну из пяти цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Значит, всего симпатичных четырехзначных чисел 4·5³ = 500.

6.

В футбольной команде нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? (В футбольной команде 11 игроков.)

Ответ Решение

Ответ. 110.

Решение. Капитана можно выбрать 11 способами, а для каждого способа выбрать капитана есть еще 10 способов выбрать его заместителя. Т.е. всего способов 11·10 = 110.

7.

В классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных?

Ответ Решение

Ответ. 300.

Решение. Сначала найдем количество способов выбрать старшего дежурного и его помощника. Это можно сделать 25·24 способами. Заметим, что каждая пара из двух человек A и B была посчитана дважды (когда B помощник A и A помощник B). Значит, всего способов выбрать двух дежурных ^24·25/₂ = 12·25 = 300.

8.

Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв: А, Б и В. Словом называется любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

Ответ Решение

Ответ. 120.

Решение. Отдельно посчитаем количество слов из одной, двух, трех и четырех букв. Каждую букву в каждом слове можно выбрать тремя способами. Т.е. всего слов 3 + 3² + 3³ + 3⁴ = 3 + 9 + 27 + 81 = 120.

9.

Меню школьной столовой не меняется и состоит из 10 блюд. Для разнообразия Витя хочет каждый день заказывать такой набор блюд, который он еще ни разу не заказывал (при этом число блюд не важно — он может заказать все 10 блюд, а может заказать только одно или вовсе ни одного). Сколько дней он сможет так питаться?

Ответ Решение

Ответ. 1024.

Решение. Заметим, что каждое блюдо можно либо заказать, либо нет. Т.е. для каждого блюда есть два варианта. Т.е. всего разных заказов можно составить 2¹⁰ = 1024. Значит, Витя сможет так питаться 1024 дня.

Дополнительные задачи

10.

Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для пересылки можно использовать трёх курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

11.

Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?