МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2010/2011 учебный год

Версия для печати

Занятие 6 (30.10.2010). Про деньги

1.
В копилке лежит 20 рублёвых монет и 20 двухрублёвых монет. Какое наименьшее число монет нужно выковырять из копилки, чтобы среди них наверняка оказались а) две одинаковые монеты; б) две двухрублёвые монеты; в) две разные монеты?
Решение.

а) Среди трёх монет всегда найдутся две одного достоинства, так как в копилке есть только два вида монет. С другой стороны, двух монет хватит не всегда, так как может попасться по одной монете каждого вида.

б) Среди 22 монет не может оказаться более 20 рублёвых, поэтому всегда найдутся как минимум две двухрублёвые. Если вытаскивать меньше 22 монет, то гарантировать выполнение указанного условия нельзя. Возможен случай, когда будут попадаться рублёвые монеты до тех пор, пока они не закончатся в копилке. Тогда двухрублёвых монет будет не больше одной (1 для случая, когда вытаскиваем всего 21 монету и 0 для случая, когда вытаскиваем меньше).

в) Если вытащить 21 монету, то все они не могут быть одинаковыми, так как монет каждого вида только 20. Поэтому среди них найдутся две разные. Если вытащить меньше 20 монет, то все они могут оказаться одинаковыми, поэтому двух монет разного достоинства среди них может и не оказаться.

Ответ. а) 3; б) 22; в) 21.
2.
Две хозяйки покупали молоко каждый день в течение месяца. Цена на молоко ежедневно менялась. Средняя цена молока за месяц оказалась равной 20 рублям. Ежедневно первая хозяйка покупала по одному литру, а вторая — на 20 рублей. Кто из них потратил за этот месяц больше денег и кто купил больше молока?
Решение. Так как первая хозяйка покупала ежедневно одинаковое количество молока, то средняя цена купленного ею литра молока равна средней цене молока за месяц. Поскольку ежедневно она покупала 1 литр, то в среднем она тратила 20 рублей в день — так же, как и вторая хозяйка, следовательно, они потратили одинаковое количество денег. В те дни, когда молоко дешевое (стоит меньше, чем 20 рублей за литр), вторая хозяйка покупала больше молока, чем первая, а в те дни, когда молоко дорогое (стоит больше, чем 20 рублей за литр), вторая хозяйка покупала меньше молока, чем первая. Таким образом, вторая хозяйка действовала более экономно. Поскольку денег они потратили одинаково, то вторая хозяйка купила молока больше.
Ответ. Хозяйки потратили денег поровну, но вторая купила больше молока.
3.
Есть девять монет, среди них одна фальшивая. Все настоящие монеты весят одинаково, а фальшивая весит немного меньше. Как с помощью чашечных весов без стрелок и гирь за два взвешивания гарантированно определить фальшивую монету?
Решение. Первое взвешивание: Разделим монеты на три кучки по три монеты. Кладём на первую чашку весов первую кучку, а на вторую чашку — вторую. Если чашки находятся в равновесии, то, значит, на весах фальшивой монеты нет, тогда она в третьей кучке. Если весы не в равновесии, то фальшивая монета в более лёгкой кучке. Таким образом первым взвешиванием мы выделили группу из трёх монет, среди которых находится фальшивая.
Второе взвешивание: Из выделенной кучки одну монету кладём на первую чашку весов, вторую монету — на вторую. Третью монету откладываем. Если весы показывают, что одна из монет легче, то эта монета фальшивая. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая третья монета.
4.
Пиноккио посадил денежное дерево, и вместо листьев на нём появлялись каждый день золотые монеты. В первый день на дереве появилась одна монета, во второй день — две, в третий день — три, и так каждый день на нём вырастало монет на одну больше, чем в предыдущий. В ночь с 29-го на 30-й день пришли лиса Алиса и кот Базилио и оборвали все золотые монеты. Сколько монет досталось коварным Алисе и Базилио?
Решение. Задача сводится к тому, чтобы посчитать сумму чисел от 1 до 29. Разобьём эти числа на пары: 1 и 29, 2 и 28, 3 и 17, ..., 14 и 16. Ещё число 15 останется без пары. Всего есть 14 пар, сумма чисел в каждой из которых равна 30. Тогда сумма всех чисел равна 30·14 + 15 = 435.
5.
Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль «Запорожец» и 2600$. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил «Запорожец» и 1000$. Сколько стоил «Запорожец»?
Решение. За неотработанные 4 месяца молодой человек недополучил 1600$. Значит, один месяц его работы стоит 400$. Таким образом, год работы стоит 400$·12 = 4800$. Тогда «Запорожец» стоил 4800$ − 2600$ = 2200$.
Ответ. 2200$.
6.
Двое играют в такую игру. Они по очереди выкладывают на круглый стол одинаковые монеты. Класть монеты друг на друга нельзя. Проигрывает тот, кому некуда положить очередную монету. Кто из игроков может гарантированно обеспечить себе победу — начинающий или его соперник? Как он должен играть?
Решение. Начинающий выиграет, если будет играть следующим образом.
Своим первым ходом он кладёт монету так, чтобы её центр совпал с центром стола. Далее, каждым своим следующим ходом он кладёт монету так, чтобы она была симметрична относительно центра стола той монете, которую положил второй игрок своим последним ходом. Первый всегда может это сделать, так как после каждого его хода расположение монет симметрично относительно центра стола (то есть, если некоторая точка поверхности стола накрыта монетой, то и симметричная ей точка относительно центра стола накрыта, а если она не накрыта монетой, то и симметричная точка не накрыта). Таким образом, если второй смог найти место, чтобы положить монету, то есть точно такой же свободный участок по форме и по площади. Как видим, следуя такой стратегии, начинающий всегда может ответить на ход его соперника своим ходом. Рано или поздно класть монеты будет некуда, но так как первый всегда может сделать ход, то проиграет второй игрок.
7.
На столе лежат монеты. 15 из них — орлом вверх, остальные — орлом вниз. Требуется с завязанными глазами разложить эти монеты на две кучи так, чтобы в этих кучах число монет, лежащих орлом вверх, было одинаково. Количество монет в кучах может быть разным (куча может состоять из любого количества монет, в том числе из одной или еще меньше), монеты можно переворачивать, но определить наощупь, как лежит монета, невозможно.
Решение. Кладём в одну кучу 15 монет и все их переворачиваем. Тогда если в этой куче изначально было x орлов, то теперь стало 15 − x (орлы стали решками, а решки — орлами). Так как всего орлов было 15, то в другой куче их тоже 15 − x.

Дополнительные задачи

8.
Пятак обкатывают вокруг неподвижного пятака. Сколько оборотов он сделает к моменту возвращения в исходную точку?
Решение. Отметим один радиус на монете, которая обкатывается. Когда монета окажется с противоположного конца неподвижной монеты, радиус будет направлен также, так как точка касания прежде была противоположна концу радиуса, а точка касания проделает путь, равный половине длины края монеты. То есть монета к этому моменту сделает один полный оборот, а всего за весь путь — два оборота.
9.
Есть 101 монета, среди них одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек определить, легче или тяжелее фальшивая монета?
Решение. Взвешиваем на чашах весов по тридцать монет. Если весы уравновесились, то эти 60 монет — настоящие. Сравниваем оставшуюся 41 монету с настоящими и получаем ответ. Если весы не уравновесились, то 41 монета — настоящие. Сравниваем любую кучку из тридцати монет с настоящими и получаем ответ.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS