МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Занятие 22 (09.04.2011). Разные задачи — 2

1.

Что больше: ²⁰⁰⁹/₂₀₁₀ или ²⁰¹⁰/₂₀₁₁?

Ответ Решение

Ответ. ²⁰¹⁰/₂₀₁₁ больше.

Решение. Первая дробь на ¹/₂₀₁₀ меньше числа 1, а вторая на ¹/₂₀₁₁. Т. к. ¹/₂₀₁₀ > ¹/₂₀₁₁, то вторая дробь больше.

2.

Напишите, используя каждую из цифр 1, 2, 3, 4 ровно два раза, восьмизначное число, у которого между единицами стоит ровно 1 цифра, между двойками — ровно 2 цифры, между тройками — ровно 3 и между четверками — ровно 4 цифры.

Ответ

Ответ. 23421314.

3.

Миша, Антон и Степан решали задачки. Миша сказал: «Я решил больше всех задач». Антон усомнился: «Либо ты решил не больше всех, либо Степан меньше всех». Степан сказал: «Я решил больше задач, чем Антон». Кто решил больше всех задач, если прав только один из мальчиков? Ответ объясните.

Ответ Решение

Ответ. Антон.

Решение. Рассмотрим два случая.

Если Миша прав, то он первый. Поскольку прав только один, то Степан неправ. Значит, второй — Антон, а Степан — третий. Но тогда утверждение Антона верно. Получаем, что всего было два верных высказывания, что противоречит условию задачи. Значит, этот случай невозможен.

Если Миша неправ, то он не первый. Тогда утверждение Антона верно. Получается, что утверждение Степана должно быть неверным. Значит, он, как и Миша, не может быть первым. Тогда Антон — первый. Нетрудно проверить, что эта ситуация удовлетворяет условию задачи.

4.

Денежной единицей Украины является гривна. В данный момент 1 гривна стоит 3 руб. 55 коп. Сколько гривен стоит 1 рубль? (Гривна, как и рубль, разменивается на 100 копеек, при нецелом числе копеек округление происходит в большую сторону.)

Ответ Решение

Ответ. ²⁰/₇₁.

Решение. Тогда рубль стоит

1	=	1	=	1	=	20
3,55		355/100		71/20		71

гривен.

5.

Решите ребус: ТИК+ТАК=АКТ. Буквами зашифрованы цифры. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры.

Ответ Решение

Ответ. 216 + 246 = 462, 261 + 251 = 512, 432 + 492 = 924.

Решение. Заметим, что Т — четное, так как оно равно последней цифре суммы (К + К). С другой стороны, Т ≤ 4, так как иначе АКТ не может быть трёхзначным числом. Таким образом, Т = 2 или Т = 4.

Если Т = 2, то К = 1 или К = 6. В первом случае, нетрудно проверить, что А = 5, а И = 6. Во втором случае, А = 4 (тогда И = 1) или А = 5 (тогда И не может быть однозначным числом — противоречие).

Если Т = 4, то К = 2 или К = 7. В первом случае, А = 9, а И = 3. А второй случай, как нетрудно проверить, к решению не приводит.

6.

Пятеро по очереди ели торт. Первый съел пятую его часть, второй — четверть остатка, третий — треть нового остатка, четвертый — половину того, что осталось после третьего, а пятый доел торт до конца. Кто из них съел больше всех?

Ответ Решение

Ответ. Все съели поровну.

Решение. Первый съел ¹/₅. Осталось 1 − ¹/₅ = ⁴/₅.
Второй съел ⁴/₅ · ¹/₄ = ¹/₅. Осталось ⁴/₅ − ¹/₅ = ³/₅.
Третий съел ³/₅ · ¹/₃ = ¹/₅. Осталось ³/₅ − ¹/₅ = ²/₅.
Четвертый съел ²/₅ · ¹/₂ = ¹/₅. Осталось ²/₅ − ¹/₅ = ¹/₅. Пятый съел ¹/₅.
Таким образом, все съели поровну.

7.

В Циссильвании 1000 жителей. Трое из них — вампиры, но мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь данными опроса (и зная, что вампиров в Циссильвании ровно трое), м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.

Решение

Решение. Известно, что все вампиры указали друг на друга. Значит, они образуют тройку, внутри которой каждый показывает на двух других. Любой житель может входить не более, чем в одну такую тройку. Все жители не могут разбиться на такие тройки, так как их количество не делится на 3. Поэтому найдётся житель, не вошедший в такую тройку. Значит, он не является вампиром.

8.

В однокруговом футбольном турнире (каждая команда с каждой сыграла ровно по одному матчу) участвовало 7 команд. По итогам турнира оказалось, что команды, занявшие призовые места, набрали ровно половину всех очков. Могло ли по итогам турнира оказаться ровно 6 ничьих? (за победу даётся 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0)

Ответ Решение

Ответ. Нет, не могло.

Решение. Всего игр было сыграно

7 · 6	=	21.
2

Если всего было 6 ничьих, то всего команды набрали (21 − 6) · 3 + 6 · 2 = 45 + 12 = 57 очков. Но тогда первые три команды набрали 57/2 = 28,5 очков, чего не может быть.