МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Руководитель Дмитрий Александрович Коробицын
2010/2011 учебный год

Версия для печати

Занятие 11 (04.12.2010). Удивительный остров

Действие почти во всех задачах происходит на некотором острове, жителями которого являются рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы — всегда неправду.

1.
Человек говорит: "Я лжец". Может ли он быть жителем острова рыцарей и лжецов?
Решение. Не может.
Если бы он был рыцарем, то он бы сказал неправду, что он лжец, чего быть не может. Если же он был бы лжецом, то он сказал бы правду, что также невозможно.
2.
Каждый из собравшихся на площади жителей острова заявил остальным: "Вы все лжецы". Сколько рыцарей среди них?
Решение. Среди присутствующих на площади не может быть двух (или более) рыцарей, так как они называли бы друг друга лжецами.
Один рыцарь быть может. Он всем остальным говорит, что они лжецы (это правда). А каждый из лжецов, говорит всем остальным, среди которых есть рыцарь, что они лжецы (это неправда).
0 рыцарей быть не может, так тогда все лжецы говорили бы правду.
3.
На улице встретились два жителя острова. Один из них сказал: "По крайней мере, один из нас рыцарь". Второй ему ответил: "Ты лжец". Кто из них кто?
Решение. Предположим, что первый — рыцарь. Тогда его утверждение верно (действительно хотя бы один рыцарь есть). Второй говорит, что первый лжец. При нашем предположении это неправда, значит, второй — лжец. Всё подходит, противоречий нет.
Разберём другой случай, когда первый — лжец. Тогда его утверждение неверно, значит, и первый, и второй лжецы. Но тогда второй говорит правду, что первый лжец. Такого быть не может, получается противоречие. Значит, возможен только первый случай.
Ответ. Первый — рыцарь, второй — лжец.
4.
Каждый из а) 7; б) 9 сидящих за круглым столом жителей острова сказал: "Мои соседи лжец и рыцарь". Сколько рыцарей и сколько лжецов сидит за столом?
Решение. а) Во-первых, возможен случай, когда все лжецы.
Предположим, что есть хотя бы один рыцарь. Тогда его соседи лжец и рыцарь: Л—Р—Р. Далее справа должен сидеть лжец, чтобы второй рыцарь говорил правду: Л—Р—Р—Л. Чтобы лжец говорил неправду, справа должен сидеть рыцарь: Л—Р—Р—Л—Р. Продолжая цепочку, получим: —Л—Р—Р—Л—Р—Р—Л—. Цепочка замыкается (то есть самый левый сидит рядом с самым правым). Получается, что крайние на схеме лжецы говорят правду, такого быть не может.

б) Возможен случай, когда все лжецы.
Если есть хотя бы один рыцарь, то проведём рассуждения, пункту а). Получим такое расположение: —Л—Р—Р—Л—Р—Р—Л—Р—Р—. Всё подходит.
Ответ. а) 0 рыцарей, 7 лжецов.
б) 0 рыцарей, 9 лжецов или 6 рыцарей, 3 лжеца.
5.
Какой вопрос нужно задать жителю острова, чтобы узнать, живёт ли у него дома ручной крокодил?
Решение. "Что ты ответишь, если у тебя спросят, живёт ли у тебя дома ручной крокодил?"
6.
Племя людоедов поймало Робинзона Крузо. Вождь сказал: "Мы бы рады тебя отпустить, но по нашему закону ты должен произнести какое-нибудь утверждение. Если оно окажется истинным, мы тебя съедим. Если оно окажется ложным, тебя съест наш лев". Что нужно сказать Робинзону, чтобы не быть съеденным?
Решение. "Меня съест лев."
7.
Некоторые жители острова заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным?
Ответ. Не может.
Решение. Для начала заметим, что одно и то же утверждение не могут делать и рыцари, и лжецы, так как иначе они бы противоречили друг другу. Поэтому возможны четыре случая:
I. первое утверждение сделали рыцари и второе рыцари (то есть, лжецов нет);
II. первое — рыцари, второе — лжецы;
III. первое — лжецы, второе — рыцари;
IV. первое — лжецы, и второе тоже лжецы (то есть, рыцарей нет).
На самом деле первый случай невозможен, так как тогда рыцари бы утверждали, что лжецов нечётное число, хотя их ноль (то есть, говорили бы неправду). А второй случай невозможен, так как тогда бы лжецы утверждали, что рыцарей чётное число, а их ноль (то есть, говорили бы правду).
Значит, возможны только случаи II и III. Во втором случае получается, что рыцарей чётное число, и лжецов чётное. То есть, всего чётное число людей. В третьем случае, рыцарей — нечётное, и лжецов — нечётное. Всего чётное число людей.
Как видим, нечётного числа людей не может быть ни в одном из случаев.
8.
Знайка задумал несколько целых чисел и сообщил их Незнайке. В интервью газете "Жёлтый листок" Незнайка сказал: "Знайка дал мне три числа. Их сумма равна 201, а произведение равно 30030". Докажите, что Незнайка соврал.
Решение. Чтобы сумма трёх чисел была равна нечётному числу 201, либо они все должны быть нечётными, либо одно из них должно быть нечётным, а два чётными. Но в первом случае их произведение должно быть тоже нечётным (а 30030 — чётное). А во втором, произведение должно делиться на 4, так как присутствуют два чётных множителя, но 30030 на 4 не делится.

Дополнительная задача

9.
Однажды 12 островитян, собравшиеся в компанию, сделали такие заявления. Двое сказали: "Ровно двое из здесь присутствующих — лжецы", ещё четверо сказали: "Ровно четверо среди здесь присутствующих — лжецы, последние шестеро сказали: "Ровно шестеро из здесь присутствующих — лжецы". Сколько лжецов могло быть в этой компании?

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! Rambler's Top100
liveinternet.ru
Apache
PHP
HTML 4.01
CSS